$\sum_(k=1)^\inftyk^(1/k)/(k!)$ diverge?

[billytalentitalianfan]

Io credo di sì..ma non riesco a dimostrarlo.
Il criterio del rapporto mi dà una forma indeterminata; il criterio della radice mi dà da risolvere $\lim_(k->\infty)(1/k)(ln(k!))$ che non so come sbrigare.


Chi mi dà una mano?

[Aethelmyth]

Sicuro che diverga?
A me viene in mente che $e^x=\sum_(k=0)^\infty x^k/(k!)$, magari può servire a qualcosa...

[billytalentitalianfan]

Sì, ma qui cresce anche $k$ al numeratore!
Come le confronto?

[gugo82]

Scusa billy, ma ti sei accorto che la successione degli addendi è un infinitesimo d'ordine infinitamente elevato?...

[Aethelmyth]

"billytalentitalianfan":Sì, ma qui cresce anche $k$ al numeratore!

Al numeratore non mi pare che cresca; dopo il primo termine, anzi, decresce tendendo a 1.

[maurer]

Basta seguire il consiglio di gugo82:

[tex]\lim_{k\to+\infty} \frac{k^{\frac{1}{k}}}{k!}\cdot k^2 = \lim_{k\to+\infty}\frac{k^{\frac{1}{k}}}{(k-2)!}\cdot \frac{k}{k-1} = 0[/tex]

e per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata [tex]\frac{1}{k^2}[/tex], la serie converge.