Sull'uso del minore uguale

[Quinzio]

MI trovo il seguente passaggio in un t. che usa il t. di Lagrange:
[tex]f(x)-f(y)= (x-y)f'(c)[/tex]
poi compaiono i moduli e il segno minore uguale.
[tex]|f(x)-f(y) | \le |(x-y) | |f'(c)[/tex]
Il tutto compare in un a dimostrazione sull lipschtzianità di una funzione a questo indirizzo
http://users.dma.unipi.it/~gobbino/Tabl ... 1_L055.pdf
La mia domanda:
chiarito che mettere il segno $\le$ nella formula è corretto, cioè non si può dire che quella scrittura sia falsa, che bisogno c'è ?

Cioè se prendo il t. di PItagora e scrivo che
[tex]|a^2| \le |b^2|+|c^2|[/tex]
nessuno mi puo' dire che è falsa, siccome io ho incluso anche il segno di uguale.... ok, ma che bisogno c'è ? Tanto io so che è vera con l'uguale, che vantaggi mi da mettere i moduli e il minore ?

Spero di essermi spiegato abbastanza, grazie!

[Sk_Anonymous]

Teorema di Pitagora: $a^2<=b^2+c^2$
Possiamo dire che c'è meno contenuto informativo? In ogni modo, non mi stupirei se un esperto di logica matematica ne sostenesse la falsità. Chiaramente, scomodando concetti che vadano al di là del semplice $vv$.

[Quinzio]

"speculor":Teorema di Pitagora: $a^2<=b^2+c^2$
Possiamo dire che c'è meno contenuto informativo? In ogni modo, non mi stupirei se uno specialista di logica matematica ne sostenesse la falsità. Chiaramente, scomodando concetti che vadano al di là del semplice $vv$.

Boh, si..... insomma non saprei.
Direi che nell'esempio che facevo (il primo la su in alto), penso di aver capito che mettere i moduli sia fondamentale altrimenti si può cadere nel falso.

Premetto che i moduli mi creano sempre un fastidio incredibile perchè non mi sono stati mai spiegati, ma me li sono trovati di botto dal biennio al triennio. Non che ci sia molto da capire, però....

Il fatto è che stiamo parlando della lipschtzianità di una funzione per cui io individuo una certa costante L e dico che
[tex]|f(x)-f(y)| = L |x-y|[/tex]
Sono costretto a mettere i moduli, perchè altriementi se la funzione scende invece di salire, il primo termine gira di segno e non funziona più il gioco.
A questo punto entra in gioco Lagrange il quale dice che si può sempre trovare un punto li in mezzo all'intervallo in cui la derivata è proprio quella giusta per scrivere quest'altro giochino:
[tex]f(x)-f(y)= (x-y)f'(c)[/tex]

Siccome L l'ho preso propripo che sia il più grande di tutte le derivate che posso mai incontrare, posso dire che $|f'(c)| Però vedo che devo mettere il modulo proprio perchè L è una cosa assoluta, non mi importa nulla del suo segno, mi dice solo che la derivata in un certo intervallo non mi scappa via, ma rimane ingabbiata entro un certo limite.
Però mettere il modulo alla $|f'(c)|$ impone di metterlo a tutto il resto della espressione di Lagrange, cioè $|f(x)-f(y)|=|(x-y)||f'(c)|$ altrimenti si cade nel falso dovunque la derivata è negativa.
Va beh, le cose più ovvie sono sempre quelle meno facili da capire e scrivere.
Non fateci caso eh, è come se stessi parlando da solo.

[Sk_Anonymous]

In ogni modo, se ti riferisci a questo passaggio, non era assolutamente necessario il primo $<=$, ipotizzando che valga il teorema di Lagrange.

[Quinzio]

Eh infatti era proprio quello che stavo guardando.
MI hai rassicurato.
Credo che l'abbia scritto con i moduli per mettere subito in evidenza la relazione con L e per il motivo che ho spiegato sopra.... thanks speculor.

[Fioravante Patrone1]

@Quinzio

Certo che scrivere $a^2 + b^2 \le c^2$ è meno informativo!

Ma, per quanto riguarda il problema specifico che ti angustia, devi tenere presente "dove vuole arrivare" Gobbino.
Vuole dimostrare la lipschitzianità di una funzione che abbia la derivata limitata, e "passare ai moduli" gli è sufficiente. Tutto qui.

Tieni presente che il discorso sull'essere "meno informativo" si può generalizzare mooolto. Tantissimi teoremi hanno la forma "A implica B". Ora, nel momento che tu riesci a dimostrare tale teorema, la tesi deve per forza "essere contenuta" nell'ipotesi. In altre parole, quello che ottieni non ti potrà mai dire di più di ciò da cui sei partito (al massimo, sarà equivalente!).
Insomma, quanto fatto in allegria da Gobbino (ma non solo lui, lo fanno "tutti" quelli che volessero dimostrare quel teorema, vista la semplicità e naturalezza della strada seguita) è un modo come un altro per buttare via un po' di informazione che si aveva in più originariamente(*) ma di cui non sappiamo che farcene.

(*) [size=90]Anche se a volte questo "buttare via" è più apparenza che realtà. Intendo dire questo: nel caso specifico, con una funzione derivabile con derivata prima limitata, cosa puoi dimostrare che valga di più che non la lipschitzianità? Ovviamente mi riferisco a proprietà "di quel tipo".[/size]