Sull'uniforme continuità dell'esponenziale

[Paolo902]

Buonasera a tutti.

Proposizione. Sia dato $b in RR$. Allora, la funzione $f: (-oo,b]->RR$ definita da $f(x)=e^x$ è uniformemente continua su tutto $I= (-oo,b]$.

Dim. (Sono perfettamente consapevole del fatto che la dimostrazione che segue può essere accorciata di molto, osservando che tutte le funzioni che ammettono asintoto obliquo sono unif. cont).

Il libro mi dice: prendi il limite notevole $lim_(t to 0) (e^t-1)/t=1$. Quindi esiste $eta>0$ tale che $|t||e^t-1|<3/2|t|$.
Adesso è facile: considera $x,y in I$ in modo che $|x-y| Prendendo $delta=min(eta, 2epsilon/(3e^b))$ hai la tesi.

Eh, grazie mille.

E' tutto chiaro dal limite in poi. L'unica cosa che non capisco è da dove salta fuori quel $3/2$: probabilmente sono solo stanco e mi sto perdendo nell'ennesima scemenza, ma perchè mette proprio $3/2$? E' una questione estetica (non mi pare...)?

Io farei così: il limite notevole è equivalente a scrivere $forall epsilon >0, " " exists delta>0 " tale che " 0<|t| |(e^t-1)/t-1|
GRAZIE mille in anticipo.

[Fioravante Patrone1]

"osservando che tutte le funzioni che ammettono asintoto obliquo sono unif. cont"
non sarei così ottimista, dipende da quello che fanno "altrove". Metti che abbiano anche un asintoto verticale

[Paolo902]

"Fioravante Patrone":"osservando che tutte le funzioni che ammettono asintoto obliquo sono unif. cont"
non sarei così ottimista, dipende da quello che fanno "altrove". Metti che abbiano anche un asintoto verticale

Sorry, capo , hai ragione, sono stato assai poco preciso. Intendevo comunque dire che non mi interessava la dimostrazione che faceva uso di questo risultato che lega in qualche modo asintoto obliquo a unif. cont...

Thanks per la precisazione.

[Seneca1]

"Paolo90":$lim_(t to 0) (e^t-1)/t=1$. Quindi esiste $eta>0$ tale che $|t||e^t-1|<3/2|t|$.

Forse, e ripeto forse, il testo sceglie $3/2 |t|$ perché è una funzione che ben maggiora, in un opportuno intorno dell'origine, $|e^t - 1|$.

Boh.

[dissonance]

"Paolo90":Se prendo $epsilon=1/2$ ho esattamente quello che dice lui, ma perchè devo prendere proprio quel valore? Dov'è il problema? E' solo una comodità per i conti e non doversi portare dietro un'altra lettera (in effetti $epsilon$ è arbitrario)?

Esatto. Per ogni $epsilon$ puoi ricavare una disuguaglianza, ma a te ne serve una sola quindi fissi $\epsilon= 1/2$. Mi pare che vada bene qualsiasi valore di $epsilon$ minore di $1$.

[Paolo902]

Ok, chiaro. Grazie per i vostri interventi.