Sullo studio di una funzione logaritmica
Stavo procedendo con lo studio della funzione
$xlog(x/(x-2))$
il dominio risulta essere ]-oo,02,+oo[
poichè i limiti si presentavano in ffrma indeterminata per x ->+-oo mi sono ricondotto al limite fondamentale e ho trovato il lmite=$loge^2$
Agli estremi dell''intervallo di definizione ho trovato che il limite per x->2+ = -oo ( spero di non aver sbagliato...non sono un granchè con i limiti laterali) e per x->0- = 0.
Sullo studio del segno della f(x) ho qualche problema poichè la f(x)=0 non ha soluzione. come faccio a trovarne i valori che assume?
inoltre, una volta calcolata la $f'(x)=log(x/(x-2))-2/(x-2)$ h difficoltà nella risoluzione della f'(x)=0 pertanto nella determinazione del segno della f'.
come posso risolvere questi arcani?
vi ringrazio, alex
$xlog(x/(x-2))$
il dominio risulta essere ]-oo,02,+oo[
poichè i limiti si presentavano in ffrma indeterminata per x ->+-oo mi sono ricondotto al limite fondamentale e ho trovato il lmite=$loge^2$
Agli estremi dell''intervallo di definizione ho trovato che il limite per x->2+ = -oo ( spero di non aver sbagliato...non sono un granchè con i limiti laterali) e per x->0- = 0.
Sullo studio del segno della f(x) ho qualche problema poichè la f(x)=0 non ha soluzione. come faccio a trovarne i valori che assume?
inoltre, una volta calcolata la $f'(x)=log(x/(x-2))-2/(x-2)$ h difficoltà nella risoluzione della f'(x)=0 pertanto nella determinazione del segno della f'.
come posso risolvere questi arcani?
vi ringrazio, alex
Risposte
L'equazione che trovi è "mista" qiundi l'unico modo per risolverla è per via grafica...
"Giulio89":
L'equazione che trovi è "mista" qiundi l'unico modo per risolverla è per via grafica...
ma non saprei come procedere...
ciao, ho controllato l'esattezza del dominio e della derivata prima; non mi convincono molto i limiti, ma dammi il tempo di controllarli. probabilmente sarai costretto a ricorrere a metodi indiretti per il segno della derivata, ma certo non per il segno della funzione... è un prodotto di due termini abbastanza semplici... legge di annullamento del prodotto: se hai due o più numeri che moltiplicati tra loro dànno zero come risultato, che cosa significa?
a tra poco, ma intanto procedi con segno e intersezioni con gli assi.
a tra poco, ma intanto procedi con segno e intersezioni con gli assi.
ho controllato anche i limiti: quello per x->2 a me viene +infinito (e non meno); glòi altri corrispondono, anche se $log(e^2) = 2$, non lo lasciare in quella forma...
per quanto riguarda segno e intersezioni con gli assi, studia separatamente i segni dei due fattori... a me viene positiva per ogni x nel dominio. ciao.
per quanto riguarda segno e intersezioni con gli assi, studia separatamente i segni dei due fattori... a me viene positiva per ogni x nel dominio. ciao.
"adaBTTLS":
ho controllato anche i limiti: quello per x->2 a me viene +infinito (e non meno); glòi altri corrispondono, anche se $log(e^2) = 2$, non lo lasciare in quella forma...
per quanto riguarda segno e intersezioni con gli assi, studia separatamente i segni dei due fattori... a me viene positiva per ogni x nel dominio. ciao.
si ehm...sapevo di sbagliare qualcosa...sbaglio sempre con i limiti laterali:)
ciò che ho potuto svolgere è lo studio della concavità convessità- f'' mi viene concava in ]-oo,0[ e convessa i ]2+oo[ tuttavia non riesco a dedurneil segno intersezioe con gli assi non ve ne è, o meglio dovrebbe avvicinarsi a 0 da sinistra, in quanto in 0 la f non è definita.
per i fattori come hai svolto?
"adaBTTLS":
ho controllato anche i limiti: quello per x->2 a me viene +infinito (e non meno)
Confermo: $\lim_{x \to 2^+} x ln(x/(x-2))$ il denominatore dentro al logaritmo tende a $0^+$, dunque va a $+ \infty$ e così anche il logaritmo. La $x$ fuori va semplicemente a $2$, quindi nell'insieme va tutto a $+ infty$.
Anche a me la funzione viene sempre positiva nel dominio.
Per il segno fai così:
$x ln(x/(x-2)) >=0$
dunque:
1° fattore: $x>=0$
2° fattore: $ln(x/(x-2)) >=0 \rightarrow x/(x-2) >=1 \rightarrow (x-x+2)/(x-2) >=0 \rightarrow 2/(x-2)>=0 \rightarrow x>2$
Facendo la tabella dello studio del segno e intersecando con il dominio viene il dominio stesso, dunque la funzione è sempre positiva.
Inoltre dato che l'unico zero sarebbe in $0$, che è escluso dal dominio, non interseca nemmeno gli assi.
Paola
$f(x) >= 0$ ->
1° fattore: $x>=0$
2° fattore: $log(x/(x-2)) >=0$ -> $x/(x-2) >= 1$.... -> $2/(x-2) >=0$ -> $x > 2$
fai il prodotto dei segni e, per ogni valore del dominio, ti verrà $f(x) > 0$
ciao.
1° fattore: $x>=0$
2° fattore: $log(x/(x-2)) >=0$ -> $x/(x-2) >= 1$.... -> $2/(x-2) >=0$ -> $x > 2$
fai il prodotto dei segni e, per ogni valore del dominio, ti verrà $f(x) > 0$
ciao.
vi rngrazio immensamente per l'aiuto. tutto svolto. ho il mio bel grafico finalmente 
grazie di cuore, alex
grazie di cuore, alex
prego. ho calcolato f"...
$f''(x)<0 AA x<0$ ti dice, oltre alla concavità della f, anche la stretta decrescenza della f', e così pure
$f''(x)>0 AA x>2$ ti dice, oltre alla convessità della f, anche la stretta crescenza della f', e questo dovrebbe aiutarti nella ricerca degli eventuali massimi e minimi. ciao.
$f''(x)<0 AA x<0$ ti dice, oltre alla concavità della f, anche la stretta decrescenza della f', e così pure
$f''(x)>0 AA x>2$ ti dice, oltre alla convessità della f, anche la stretta crescenza della f', e questo dovrebbe aiutarti nella ricerca degli eventuali massimi e minimi. ciao.
"adaBTTLS":
prego. ho calcolato f"...
$f''(x)<0 AA x<0$ ti dice, oltre alla concavità della f, anche la stretta decrescenza della f', e così pure
$f''(x)>0 AA x>2$ ti dice, oltre alla convessità della f, anche la stretta crescenza della f', e questo dovrebbe aiutarti nella ricerca degli eventuali massimi e minimi. ciao.
ti ringrazio per avermi aiutato anche col calcolo della derivata. sto iniziando ora con lo studio di funzione e ancora zoppico su cose che effettivamente dovrei considerare fondamentali e non opportuni solo allo studio di funzioni, quali studi del segno, ricerca del dominio e limiti, e per quanto mi sia e mi stia esercitando ancora trovo parecchie difficoltà. per chi non ha mai fatto questo genere di calcoli, le incertezze sono all'ordine del giorno, addirittura dei minuti. pertanto capiterà ancora, riconosco quanto meno i miei di limiti
, di dover abusare della vostra gentilezza, presentando i miei problemi le mie difficoltà senza aggiungere tanto di procedimento quanto dubbi e perplessità circa il modo di proseguire, domandandovi il perchè di questo svolgimento. la teoria dei libri è piuttosto chiara per coloro i quali riescono ad adattarsi , per i quali la mente è aperta e l'occhio è vigile...purtroppo non è il mio caso ma ce la metterò tutta. se tempo fa non riuscivo a svolgee un integrale, adesso provo da solo, anche se parzialmente riesco a trovare il risultato...ma sono piccolo conquiste che danno grande soddisfazione...vi ringrazio davvero di cuore per l'aiuto che mi date, permettendo a me stesso di superare alcune difficoltà ( alcune perchè io sono de coccio!!!)
alex
cerco di spiegarti perché ho insistito a calcolare quei limiti: dal segno della derivata seconda segue che in $(-oo, 0)$ la derivata prima è strettamente decrescente, mentre in $(2, +oo)$ la derivata prima è strettamente crescente. ora, visto che le "radici" della derivata prima non le sappiamo trovare per via elementare, abbiamo testé dimostrato che non possono essere più di due, di cui una < 0, una > 2 (al massimo). ma trovando i limiti abbiamo escluso anche questa possibilità, perché abbiamo ottenuto questi risultati:
$lim_(x->-oo)\f'(x)=0$, $lim_(x->(0^-))\f'(x)=-oo$, $lim_(x->(2^+))\f'(x)=-oo$, $lim_(x->+oo)\f'(x)=0$, dunque la f' è sempre negativa, la f sempre decrescente. non sono presenti punti stazionari e nemmeno altri "punti critici" (massimi, minimi, flessi, cuspidi, punti angolosi; in base ad altri limiti trovati precedentemente, oltre a max e min relativi si escludono anche quelli assoluti; ti conviene forse vedere gli estremi inferiori e superiori...). ciao.
$lim_(x->-oo)\f'(x)=0$, $lim_(x->(0^-))\f'(x)=-oo$, $lim_(x->(2^+))\f'(x)=-oo$, $lim_(x->+oo)\f'(x)=0$, dunque la f' è sempre negativa, la f sempre decrescente. non sono presenti punti stazionari e nemmeno altri "punti critici" (massimi, minimi, flessi, cuspidi, punti angolosi; in base ad altri limiti trovati precedentemente, oltre a max e min relativi si escludono anche quelli assoluti; ti conviene forse vedere gli estremi inferiori e superiori...). ciao.
"adaBTTLS":
cerco di spiegarti perché ho insistito a calcolare quei limiti: dal segno della derivata seconda segue che in $(-oo, 0)$ la derivata prima è strettamente decrescente, mentre in $(2, +oo)$ la derivata prima è strettamente crescente. ora, visto che le "radici" della derivata prima non le sappiamo trovare per via elementare, abbiamo testé dimostrato che non possono essere più di due, di cui una < 0, una > 2 (al massimo). ma trovando i limiti abbiamo escluso anche questa possibilità, perché abbiamo ottenuto questi risultati:
$lim_(x->-oo)\f'(x)=0$, $lim_(x->(0^-))\f'(x)=-oo$, $lim_(x->(2^+))\f'(x)=-oo$, $lim_(x->+oo)\f'(x)=0$, dunque la f' è sempre negativa, la f sempre decrescente. non sono presenti punti stazionari e nemmeno altri "punti critici" (massimi, minimi, flessi, cuspidi, punti angolosi; in base ad altri limiti trovati precedentemente, oltre a max e min relativi si escludono anche quelli assoluti; ti conviene forse vedere gli estremi inferiori e superiori...). ciao.
scusami l'idiozia: per vedere gli estremi superiori e inferiori cosa dovrei fare? procedo con la definizione di estremo..
io in reltà quando ho fatto quell'aggiunta intendevo suggerirti di studiare la "teoria" riguardante sup, inf, e "annessi e connessi", anche perché non avevo davanti l'espressione analitica della funzione ma della derivata prima...
mi pare che f sia risultata sempre non negativa e che assuma valore 0 per due distinti valori di x, ed in più mi pare che qualche limite è risultato +infinito: quindi il codominio è $C=[0, +oo)$, è limitata inferiormente e provvista di minimo, è illimitata superiormente quindi non ha estremo superiore (e quindi non può avere massimo assoluto).
f' invece è sempre negativa, illimitata inferiormente, limitata superiormente con sup$(f'(x))$=0 che però non è un massimo.
i due punti di minimo della f sono agli etremi degli intervalli che costituiscono il dominio (cioè 0 e 2), eventuali altri punti (interni) di massimo o minimo relativo possono trovarsi o in punti dove non esiste la derivata o in punti dove la derivata è zero. se esamini il dominio della derivata (coincide don il dominio della f privato dei punti di contorno 0 e 2), allora, per ricercare altri punti di max o min relativo, devi trovare le soluzioni dell'equazione $f'(x)=0$ compatibili con il dominio della f'. visto che l'equazione citata non si sa risolvere per via elementare, troviamo la derivata prima (che è la derivata seconda della f) e ne studiamo il segno. i risultati li sai già: non si hanno soluzioni... sì, ma non potevi escluderlo a priori senza esplicitare tutti questi ragionamenti... ciao.
mi pare che f sia risultata sempre non negativa e che assuma valore 0 per due distinti valori di x, ed in più mi pare che qualche limite è risultato +infinito: quindi il codominio è $C=[0, +oo)$, è limitata inferiormente e provvista di minimo, è illimitata superiormente quindi non ha estremo superiore (e quindi non può avere massimo assoluto).
f' invece è sempre negativa, illimitata inferiormente, limitata superiormente con sup$(f'(x))$=0 che però non è un massimo.
i due punti di minimo della f sono agli etremi degli intervalli che costituiscono il dominio (cioè 0 e 2), eventuali altri punti (interni) di massimo o minimo relativo possono trovarsi o in punti dove non esiste la derivata o in punti dove la derivata è zero. se esamini il dominio della derivata (coincide don il dominio della f privato dei punti di contorno 0 e 2), allora, per ricercare altri punti di max o min relativo, devi trovare le soluzioni dell'equazione $f'(x)=0$ compatibili con il dominio della f'. visto che l'equazione citata non si sa risolvere per via elementare, troviamo la derivata prima (che è la derivata seconda della f) e ne studiamo il segno. i risultati li sai già: non si hanno soluzioni... sì, ma non potevi escluderlo a priori senza esplicitare tutti questi ragionamenti... ciao.
"adaBTTLS":
... sì, ma non potevi escluderlo a priori senza esplicitare tutti questi ragionamenti... ciao.
ancora sono novellino. non credo avrei saputo fare i tuoi stessi ragionamenti... spero di aver imparato per poter metterl a frutto in futuro.
grazie ancora, alex
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