Sullo studio dei segni
non so se riuscirò a capire come svolgere lo studio dei segni, ho letto già diverse cose ma non riesco a comprenderne il meccanismo, per quant semplice sia.
stavo procedendo con lo studio di una funzione el'unica cosa che sono riuscito a svolgere è stata l'equazione per trovare massimi e minimi della funzione.
la funzione originaria è $x(x^2-1)^2)$ ( molto banale) definita in tutto R e avente come punti d'intersezione con gli assi -1,0,+1. se non erro, per risolvere la disequazione f(x)>=0 dovrei distinguere i casi x>0 e x<0 e poi farne l'unione delle soluzioni (tutto dirsi!). ho calcolato la derivata prima e volevo studiarne a crescenza e decrescenza quindi..altra disequazione ( disequazioni che se non fossero inserite in studi grafici riuscirei a risolvere non nego questo strambo sconvolgimento!!!):
f'(x)=$(x^2-1)(5x^2-1)$
gli intervalli sono pertanto:
$(-oo,-1)U(-1,-1/sqrt5)U(-1/sqrt5,0)U(0,1/sqrt5)U(1/sqrt5,1)U(1,+oo)$
tuttavia in questi intervalli non so determinarne il segno della funzione dal quale ritengo si possa arrivare mediante unione delle soluzioni del segno della prima funzione e della derivata prima....ma non vorrei dire sciocchezze.
se qualcuno si armasse di buona volontà e mi spiegasse come fare, o in questo caso che è particolare, o in generale, tenendo conto delle disequazioni possibili....o avesse degli esercizi da farmi svolgere per verificare l'apprendimento..o link...insomma....mi serve qualcosa che mi spieghi e mi faccia imparare una volta per tutte lo studio dei segni. Non chiedetemi come sia riuscito sin ad ora a non farne uso....ma nel mio liceo era tabù. Ho scoperto il metodo soltanto perchè il prof accennava a questo procedimento..all'Università.
vi ringrazio immensamente,
alex
stavo procedendo con lo studio di una funzione el'unica cosa che sono riuscito a svolgere è stata l'equazione per trovare massimi e minimi della funzione.
la funzione originaria è $x(x^2-1)^2)$ ( molto banale) definita in tutto R e avente come punti d'intersezione con gli assi -1,0,+1. se non erro, per risolvere la disequazione f(x)>=0 dovrei distinguere i casi x>0 e x<0 e poi farne l'unione delle soluzioni (tutto dirsi!). ho calcolato la derivata prima e volevo studiarne a crescenza e decrescenza quindi..altra disequazione ( disequazioni che se non fossero inserite in studi grafici riuscirei a risolvere non nego questo strambo sconvolgimento!!!):
f'(x)=$(x^2-1)(5x^2-1)$
gli intervalli sono pertanto:
$(-oo,-1)U(-1,-1/sqrt5)U(-1/sqrt5,0)U(0,1/sqrt5)U(1/sqrt5,1)U(1,+oo)$
tuttavia in questi intervalli non so determinarne il segno della funzione dal quale ritengo si possa arrivare mediante unione delle soluzioni del segno della prima funzione e della derivata prima....ma non vorrei dire sciocchezze.
se qualcuno si armasse di buona volontà e mi spiegasse come fare, o in questo caso che è particolare, o in generale, tenendo conto delle disequazioni possibili....o avesse degli esercizi da farmi svolgere per verificare l'apprendimento..o link...insomma....mi serve qualcosa che mi spieghi e mi faccia imparare una volta per tutte lo studio dei segni. Non chiedetemi come sia riuscito sin ad ora a non farne uso....ma nel mio liceo era tabù. Ho scoperto il metodo soltanto perchè il prof accennava a questo procedimento..all'Università.
vi ringrazio immensamente,
alex
Risposte
tu scrivi:
"se non erro, per risolvere la disequazione f(x)>=0 dovrei distinguere i casi x>0 e x<0 e poi farne l'unione delle soluzioni (tutto dirsi!). "
in effetti no. non ci sono valori assoluti, allora si fa un semplice prodotto dei segni...
nel caso della f, te lo risparmio, perché c'è un quadrato che si annulla in x= -1 e in x=1, per il resto è sempre positivo, per cui la f ha stesso segno dell'altro fattore (x).............. risultato: f(x)<0 in (-oo, -1) e in (-1, 0), f(x)>0 in (0, 1) e in (1, +oo)
per f'(x) devi fare il prodotto dei segni dei due fattori (le disequazioni di secondo grado le saprai risolvere...); provo a farti lo schema con i risultati parziali che dovresti conoscere:
(x^2-1>=0) __________________________0-------------------------------------------------------------------------------------0______________________
(5x^2-1>=0) ______________________________________________0----------------------------0______________________________________________
x ....................................................... -1 ........................ -sqrt(1/5) ....................... +sqrt(1/5) ................................... +1 .....................................
f'(x).............................( + )................( 0 )..........( - )...............( 0 ).............( + )............( 0 ).....................( - )..............( 0 )..............( + )................
è chiaro? io non ho inserito lo zero, perché non è un punto particolorare per f'... qual è il segno della derivata prima nei cinque o sei intervalli? ciao.
"se non erro, per risolvere la disequazione f(x)>=0 dovrei distinguere i casi x>0 e x<0 e poi farne l'unione delle soluzioni (tutto dirsi!). "
in effetti no. non ci sono valori assoluti, allora si fa un semplice prodotto dei segni...
nel caso della f, te lo risparmio, perché c'è un quadrato che si annulla in x= -1 e in x=1, per il resto è sempre positivo, per cui la f ha stesso segno dell'altro fattore (x).............. risultato: f(x)<0 in (-oo, -1) e in (-1, 0), f(x)>0 in (0, 1) e in (1, +oo)
per f'(x) devi fare il prodotto dei segni dei due fattori (le disequazioni di secondo grado le saprai risolvere...); provo a farti lo schema con i risultati parziali che dovresti conoscere:
(x^2-1>=0) __________________________0-------------------------------------------------------------------------------------0______________________
(5x^2-1>=0) ______________________________________________0----------------------------0______________________________________________
x ....................................................... -1 ........................ -sqrt(1/5) ....................... +sqrt(1/5) ................................... +1 .....................................
f'(x).............................( + )................( 0 )..........( - )...............( 0 ).............( + )............( 0 ).....................( - )..............( 0 )..............( + )................
è chiaro? io non ho inserito lo zero, perché non è un punto particolorare per f'... qual è il segno della derivata prima nei cinque o sei intervalli? ciao.
non è venuto bene lo schema; provo a rifarlo:
(x^2-1>=0) _____________________0-----------------------------------------------------------------------0_____________
(5x^2-1>=0) ____________________________________0-----------------------0_______________________________
x .............................................. -1 ................... -sqrt(1/5) .................... +sqrt(1/5) ........................... +1 ......................
f'(x).........................( + ).............( 0 ).......( - )........( 0 )..........( + ).........( 0 )..............( - )..........( 0 )..........( + ).............
spero che ora si capisca. è chiaro? io non ho inserito lo zero, perché non è un punto particolorare per f'... qual è il segno della derivata prima nei cinque o sei intervalli? ciao.
(x^2-1>=0) _____________________0-----------------------------------------------------------------------0_____________
(5x^2-1>=0) ____________________________________0-----------------------0_______________________________
x .............................................. -1 ................... -sqrt(1/5) .................... +sqrt(1/5) ........................... +1 ......................
f'(x).........................( + ).............( 0 ).......( - )........( 0 )..........( + ).........( 0 )..............( - )..........( 0 )..........( + ).............
spero che ora si capisca. è chiaro? io non ho inserito lo zero, perché non è un punto particolorare per f'... qual è il segno della derivata prima nei cinque o sei intervalli? ciao.
"adaBTTLS":...ehm...sto provando a capirci qualcosa...non per colpa dello schemino quanto della mia ottusaggine, piuttsto.
non è venuto bene lo schema; provo a rifarlo:
(x^2-1>=0) _____________________0-----------------------------------------------------------------------0_____________
(5x^2-1>=0) ____________________________________0-----------------------0_______________________________
x .............................................. -1 ................... -sqrt(1/5) .................... +sqrt(1/5) ........................... +1 ......................
f'(x).........................( + ).............( 0 ).......( - )........( 0 )..........( + ).........( 0 )..............( - )..........( 0 )..........( + ).............
spero che ora si capisca. è chiaro? io non ho inserito lo zero, perché non è un punto particolorare per f'... qual è il segno della derivata prima nei cinque o sei intervalli? ciao.
ho solo provato ad usare i classici schemi per il segno dei vari fattori per trovare il segno complessivo facendo il prodotto dei segni.
linea continua: __________________________ = segno (+); linea discontinua: --------------------------------- = segno (-)
i due fattori sono binomi ("generalmente trinomi") di secondo grado, entrambi con $a>0$: dunque segno + all'esterno dell'intervallo delle radici e segno - all'interno; quella x intendeva essere un riferimento all'asse x, su cui prendi i valori che tu stesso hai individuato (tutte le soluzioni più eventualmente lo zero)
l'ultima riga vorrebbe essere una lettura del risultato del segno della f': questa si può riscrivere in maniera più leggibile...
$f'(x)>0 " per " x in (-oo, -1)uu(-sqrt(1/5), +sqrt(1/5))uu(+1, +oo)$
$f'(x)<0 " per " x in (-1, -sqrt(1/5))uu(+sqrt(1/5), +1)$
$f'(x)=0 " per " x in {+-1, +-sqrt(1/5)}$
va meglio ora? sono chiari i passaggi? sapresti rifarli? ciao.
linea continua: __________________________ = segno (+); linea discontinua: --------------------------------- = segno (-)
i due fattori sono binomi ("generalmente trinomi") di secondo grado, entrambi con $a>0$: dunque segno + all'esterno dell'intervallo delle radici e segno - all'interno; quella x intendeva essere un riferimento all'asse x, su cui prendi i valori che tu stesso hai individuato (tutte le soluzioni più eventualmente lo zero)
l'ultima riga vorrebbe essere una lettura del risultato del segno della f': questa si può riscrivere in maniera più leggibile...
$f'(x)>0 " per " x in (-oo, -1)uu(-sqrt(1/5), +sqrt(1/5))uu(+1, +oo)$
$f'(x)<0 " per " x in (-1, -sqrt(1/5))uu(+sqrt(1/5), +1)$
$f'(x)=0 " per " x in {+-1, +-sqrt(1/5)}$
va meglio ora? sono chiari i passaggi? sapresti rifarli? ciao.
"adaBTTLS":
ho solo provato ad usare i classici schemi per il segno dei vari fattori per trovare il segno complessivo facendo il prodotto dei segni.
linea continua: __________________________ = segno (+); linea discontinua: --------------------------------- = segno (-)
i due fattori sono binomi ("generalmente trinomi") di secondo grado, entrambi con $a>0$: dunque segno + all'esterno dell'intervallo delle radici e segno - all'interno; quella x intendeva essere un riferimento all'asse x, su cui prendi i valori che tu stesso hai individuato (tutte le soluzioni più eventualmente lo zero)
l'ultima riga vorrebbe essere una lettura del risultato del segno della f': questa si può riscrivere in maniera più leggibile...
$f'(x)>0 " per " x in (-oo, -1)uu(-sqrt(1/5), +sqrt(1/5))uu(+1, +oo)$
$f'(x)<0 " per " x in (-1, -sqrt(1/5))uu(+sqrt(1/5), +1)$
$f'(x)=0 " per " x in {+-1, +-sqrt(1/5)}$
va meglio ora? sono chiari i passaggi? sapresti rifarli? ciao.
mi è chiaro il disegno. provo a rifare i calcoli e posto...
"bad.alex":
[quote="adaBTTLS"]ho solo provato ad usare i classici schemi per il segno dei vari fattori per trovare il segno complessivo facendo il prodotto dei segni.
linea continua: __________________________ = segno (+); linea discontinua: --------------------------------- = segno (-)
i due fattori sono binomi ("generalmente trinomi") di secondo grado, entrambi con $a>0$: dunque segno + all'esterno dell'intervallo delle radici e segno - all'interno; quella x intendeva essere un riferimento all'asse x, su cui prendi i valori che tu stesso hai individuato (tutte le soluzioni più eventualmente lo zero)
l'ultima riga vorrebbe essere una lettura del risultato del segno della f': questa si può riscrivere in maniera più leggibile...
$f'(x)>0 " per " x in (-oo, -1)uu(-sqrt(1/5), +sqrt(1/5))uu(+1, +oo)$
$f'(x)<0 " per " x in (-1, -sqrt(1/5))uu(+sqrt(1/5), +1)$
$f'(x)=0 " per " x in {+-1, +-sqrt(1/5)}$
va meglio ora? sono chiari i passaggi? sapresti rifarli? ciao.
mi è chiaro il disegno. provo a rifare i calcoli e posto...[/quote]
si, ci sono. mi sono risultati con risoluzione della disequazione e con metodo segni. ma quindi lo 0 non lo devo considerare? grazie ancora ada.
zero lo puoi anche inserire nel grafico, però è uno zero della funzione, non della derivata, e non è nemmeno un punto particolare (di non derivabilità), quindi è ininfluente sullo studio del segno della derivata prima.
prego e buona notte.
prego e buona notte.
"adaBTTLS":
zero lo puoi anche inserire nel grafico, però è uno zero della funzione, non della derivata, e non è nemmeno un punto particolare (di non derivabilità), quindi è ininfluente sullo studio del segno della derivata prima.
prego e buona notte.
ti ringrazio per avermi spiegato. buona notte, alex
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