Sull'intersezione infinita di insiemi convessi.

[Sk_Anonymous]

Salve a tutti. In Geometria si stava discutendo sull'intersezione di insiemi convessi. In particolare, volevo sapere se è necessaria una qualche considerazione aggiuntiva per adattare la dimostrazione da un insieme finito ad un insieme infinito. Grazie.

[Rigel1]

Quale dimostrazione?

[Sk_Anonymous]

"Richard_Dedekind":
Ma guarda, potrei sbagliarmi di grosso, però farei così:
Consideriamo una famiglia \(\{C_i\,|\, i\in I \} \) di convessi e sia
\[C=\bigcap_{i\in I} C_i\]
Se prendiamo \(x_1,x_2\in C\}\), per definizione \(x_1,x_2\in C_i\) per ogni \(i\in I\). Dall'ipotesi di convessità segue che anche \((1-\lambda)x_1+\lambda x_2\in C_i\) per ogni \(i\in I\) quando \(\lambda \in [0,1]\subseteq \mathbb{R}\). Poiché ciò vale per ogni indice \(i\), si è trovato che l'inviluppo convesso \((1-\lambda)x_1+\lambda x_2\in C\).

@Rigel
Scusa la dimenticanza.

@Richard_Dedekind
Ho riportato la tua dimostrazione, da me condivisa. Spero non sia un problema.