Sull'integrale di Lebesgue
Vorrei discutere di una certa questione inerente l'integrale di Lebesgue... occorre però chiarire preliminarmente una cosa:
L'integrale di Lebesgue è definito per funzioni positive, quindi se si vuole integrare una funzione che ha anche parti negative, tali parti verranno considerate col segno cambiato.
Ovviamente se una funzione è sommabile (ovvero il suo modulo è integrabile) essa è integrabile secondo Lebesgue.
Se una funzione $f$ non è sommabile, dette $f^+$ ed $f^-$ rispettivamente la parte positiva e quella negativa, se soltano una tra $f^+$ ed $f^-$ è sommabile e l'altra no, l'integrale di Lebesgue di $f$ esiste ed è infinito (il segno dipende da quale delle due parti risulta non sommabile).
Se una funzione $f$ non è sommabile e sia $f^+$ che $f^-$ non sono sommabili, allora l'integrale di Lebesgue di $f$ non esiste.
Prima di proseguire domando: quanto detto finora è corretto?
L'integrale di Lebesgue è definito per funzioni positive, quindi se si vuole integrare una funzione che ha anche parti negative, tali parti verranno considerate col segno cambiato.
Ovviamente se una funzione è sommabile (ovvero il suo modulo è integrabile) essa è integrabile secondo Lebesgue.
Se una funzione $f$ non è sommabile, dette $f^+$ ed $f^-$ rispettivamente la parte positiva e quella negativa, se soltano una tra $f^+$ ed $f^-$ è sommabile e l'altra no, l'integrale di Lebesgue di $f$ esiste ed è infinito (il segno dipende da quale delle due parti risulta non sommabile).
Se una funzione $f$ non è sommabile e sia $f^+$ che $f^-$ non sono sommabili, allora l'integrale di Lebesgue di $f$ non esiste.
Prima di proseguire domando: quanto detto finora è corretto?
Risposte
Ho dato una letta veloce ma direi che non fa una piega.
Bene, ti ringrazio per la conferma.
Assodato ciò, vengo al dunque... in particolare voglio porre attenzione sulla seguente affermazione:
Se una funzione $f$ non è sommabile e sia $f^+$ che $f^-$ non sono sommabili, allora l'integrale di Lebesgue di $f$ non esiste.
Mi chiedo il perché di questo fatto. Personalmente ho qualche difficoltà a capirne i motivi. Certo, non lo trovo affatto assurdo, però mi domando perché tagliare corto dicendo che l'integrale in quel caso non esiste e non andare oltre magari, per vedere se c'è qualche modo di far comunque "quadrare i conti".
Provo a spiegarmi con un esempio...
Consideriamo la funzione $f(t)=t/(t^2+1)$. Essa è positiva per $t>0$ e negativa per $t<0$, ma sia $f^+$ che $f^-$ risultano non sommabili rispettivamente in $[0,+oo[$ e in $]-oo,0]$. Ne concludiamo che l'integrale di Lebesgue di $f(t)$ esteso a $RR$ non esiste. Tuttavia $f(t)$ ha evidenti proprietà di simmetria e l'integrale nel senso del valor principale di $f(t)$ esteso a $RR$ è chiaramento nullo.
In definitiva, per la funzione $f(t)=t/(t^2+1)$ trovo più verosimile la nozione di integrale a valor principale che quella di Lebesgue.
Vorrei qualche parere in proposito.
Assodato ciò, vengo al dunque... in particolare voglio porre attenzione sulla seguente affermazione:
Se una funzione $f$ non è sommabile e sia $f^+$ che $f^-$ non sono sommabili, allora l'integrale di Lebesgue di $f$ non esiste.
Mi chiedo il perché di questo fatto. Personalmente ho qualche difficoltà a capirne i motivi. Certo, non lo trovo affatto assurdo, però mi domando perché tagliare corto dicendo che l'integrale in quel caso non esiste e non andare oltre magari, per vedere se c'è qualche modo di far comunque "quadrare i conti".
Provo a spiegarmi con un esempio...
Consideriamo la funzione $f(t)=t/(t^2+1)$. Essa è positiva per $t>0$ e negativa per $t<0$, ma sia $f^+$ che $f^-$ risultano non sommabili rispettivamente in $[0,+oo[$ e in $]-oo,0]$. Ne concludiamo che l'integrale di Lebesgue di $f(t)$ esteso a $RR$ non esiste. Tuttavia $f(t)$ ha evidenti proprietà di simmetria e l'integrale nel senso del valor principale di $f(t)$ esteso a $RR$ è chiaramento nullo.
In definitiva, per la funzione $f(t)=t/(t^2+1)$ trovo più verosimile la nozione di integrale a valor principale che quella di Lebesgue.
Vorrei qualche parere in proposito.
Ti ricordi la teoria degli integrali impropri (o delle serie)? Il concetto è lo stesso.
Il punto è che il valore principale PRESCRIVE in che modo devi sommare l'integrale (su intervalli simmetrici, nel tuo caso), mentre tu vorresti poter sommare in un QUALUNQUE modo e ottenere sempre lo stesso risultato (come accade per le somme finite).
Il punto è che il valore principale PRESCRIVE in che modo devi sommare l'integrale (su intervalli simmetrici, nel tuo caso), mentre tu vorresti poter sommare in un QUALUNQUE modo e ottenere sempre lo stesso risultato (come accade per le somme finite).
"irenze":
Il punto è che il valore principale PRESCRIVE in che modo devi sommare l'integrale (su intervalli simmetrici, nel tuo caso), mentre tu vorresti poter sommare in un QUALUNQUE modo e ottenere sempre lo stesso risultato (come accade per le somme finite).
I agree with this "functionalistic/instrumental" point of view!
"irenze":
Ti ricordi la teoria degli integrali impropri?
Questo argomento non l'ho mai trattato all'università
Non ho ben afferrato ciò che vuoi dire.
Il problema segnalato da Kroldar relativo alla validita o meno dell'egualianza...
$int_(-oo)^(+oo) f(t) dt=0$ (1)
... quando $f(t)$ è una qualunue funzione dispari generalmente continua è naturalmente già stato trattato ed è noto che le opinioni al riguardo sono differenti
...
Un 'interrogativo' invece al quale finora nessuno mi ha fornito una risposta 'convincente' sarebbe il seguente: per quali motivi accanto alla definizione di integrale di Riemann si è introdotta 'a pari titolo' la definizione di integrale di Lebesgue?...
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace...
$int_(-oo)^(+oo) f(t) dt=0$ (1)
... quando $f(t)$ è una qualunue funzione dispari generalmente continua è naturalmente già stato trattato ed è noto che le opinioni al riguardo sono differenti
... Un 'interrogativo' invece al quale finora nessuno mi ha fornito una risposta 'convincente' sarebbe il seguente: per quali motivi accanto alla definizione di integrale di Riemann si è introdotta 'a pari titolo' la definizione di integrale di Lebesgue?...
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace...
"lupo grigio":
Un 'interrogativo' invece al quale finora nessuno mi ha fornito una risposta 'convincente' sarebbe il seguente: per quali motivi accanto alla definizione di integrale di Riemann si è introdotta 'a pari titolo' la definizione di integrale di Lebesgue?...
Visto che si è dimostrato difficile convincerti del fatto che non hai capito la def di limite, o che i teoremi senza le ipotesi giuste sono tendenzialmente falsi, farti capire perché Henri Lebesgue introdusse, un secolo fa (*), questo nuovo approccio mi sembra una impresa disperata.
(*) un alto studente di dottorato bravino: l'ha fatto nella sua tesi, come Arrow e Nash, per citare due che sono stati già menzionati a tal proposito su questo forum. Notare che la sua tesi fu pubblicata sulla rivista italiana: "Annali di Matematica":
Henri Lebesgue, Intégrale, longueur, aire, Annali di Matematica, Milano, 1902.
Per chi sia interessato, un articolo carino è:
http://matematica.uni-bocconi.it/Lebesgue/home.htm
"Kroldar":
[quote="irenze"]Ti ricordi la teoria degli integrali impropri?
Questo argomento non l'ho mai trattato all'università
Non ho ben afferrato ciò che vuoi dire.[/quote]
Quando avrò un po' di tempo proverò a spiegartelo allora (sempre che qualcuno non arrivi prima di me
)
"lupo grigio":
Un 'interrogativo' invece al quale finora nessuno mi ha fornito una risposta 'convincente' sarebbe il seguente: per quali motivi accanto alla definizione di integrale di Riemann si è introdotta 'a pari titolo' la definizione di integrale di Lebesgue?...
Di motivi se ne possono trovare diversi:
1. ampliare la classe delle funzioni integrabili;
2. avere dei teoremi di passaggio al limite "migliori". Per esempio, il passaggio al limite sotto il segno di integrale è lecito nel caso di convergenza uniforme se l'integrale è quello di Riemann, mentre se l'integrale è quello di Lebesgue è sufficiente la convergenza dominata (che più facile da verificare);
3. avere uno spazio di funzioni completo (se lo spazio è completo valgono dei teoremi notevoli, come quello di Pitagora o della proiezione, che non valgono in generale in spazi non completi): lo spazio delle funzioni al quadrato sommabile è completo (nella metrica dell'integrale di Lebesgue). Questo è importante in alcune teorie fisiche, come la meccanica quantistica.
D'altra parte, se una funzione, definita su un intervallo limitato, è tale che i suoi punti di discontinuità sono un insieme di misura (di Lebesgue) nulla, la funzione è Riemann-integrale e i due integrali (di Riemann e di Lebesgue) coincidono. Quindi in "molti" casi i due integrali coincidono.
Premessa
La funzione di Dirichlet, cioè la funzione caratteristica dell'insieme $QQ$ , che vale 1 nei punti razionali e 0 nei punti irrazionali, non è integrabile secondo Riemann in alcun intervallo della retta reale.
E' invece integrabile secondo Lebesgue e il suo integrale vale 0 in ogni intervallo della retta reale in quanto l'insieme dei punti in cui vale 1 ( cioè $QQ$) è un insieme di misura nulla ($QQ$ è infatti numerabile).
Ed ora la domanda :
Vedo ( sempre?) l'integrale di Lebesgue inteso come integrale definito .
E come integrale indefinito ?
Ha senso parlare di primitive, ad esempio della funzione di Dirichlet ?
Azzardo una risposta, sì ha senso , ma le primitive non sono esprimibili elementarmente
La funzione di Dirichlet, cioè la funzione caratteristica dell'insieme $QQ$ , che vale 1 nei punti razionali e 0 nei punti irrazionali, non è integrabile secondo Riemann in alcun intervallo della retta reale.
E' invece integrabile secondo Lebesgue e il suo integrale vale 0 in ogni intervallo della retta reale in quanto l'insieme dei punti in cui vale 1 ( cioè $QQ$) è un insieme di misura nulla ($QQ$ è infatti numerabile).
Ed ora la domanda :
Vedo ( sempre?) l'integrale di Lebesgue inteso come integrale definito .
E come integrale indefinito ?
Ha senso parlare di primitive, ad esempio della funzione di Dirichlet ?
Azzardo una risposta, sì ha senso , ma le primitive non sono esprimibili elementarmente
Le primitive sono pur sempre integrali definiti.
Questo è vero !
"Luca-Lussardi":
Le primitive sono pur sempre integrali definiti.
Non sono d'accordo con Luca, stavolta.
Le primitive e gli integrali sono cose diverse. Dire che una funzione $F$ è una primitiva di $f$ significa semplicemente che la derivata di $F$ è $f$: $F'=f$. Tutto qui, gli integrali (di Riemann o di Lebesgue) non c'entrano!
La funzione di Dirichelt ammette primitive? No! Infatti il teorema di Darboux afferma che condizione necessaria perché una funzione $f$ ammetta una primitiva su un intervallo $I$ è che $f(I)$ sia un intervallo.
P.S. Sotto l'ipotesi di continuità, le primitive si possono scrivere come integrali definiti: è il teorema fondamentale del calcolo. Ma questo non è generale, vale se la funzione integranda è continua.
Gli integrali impropri sono gli integrali su insiemi dove la funzione integranda ha delle singolarità oppure su insiemi di misura infinita. E non ci credo che non li hai mai visti!
Primo caso: funzione con una singolarità (in un punto $a$)
Sia $f : ]a , b] \to RR$ continua (dove $-\infty < a < b <+\infty$).
Se esiste il limite
$\lim_{c \to a+} \int_a^c{f(t) dt}$
chiamiamo tale limite integrale improprio di $f$ su $] a , b [$.
Secondo caso: insieme di misura infinita
Sia $f : [a , +\infty[$ continua.
Se esiste il limite
$\lim_{L \to +\infty} \int_a^L{f(t) dt}$
chiamiamo tale limite integrale improprio di $f$ su $[ a , +\infty [$.
Queste definizioni sono abbastanza intuitive e credo che non abbiano bisogno di essere commentate. Se invece hai bisogno di ulteriori chiarimenti, basta chiedere.
Il punto (cioè la spiegazione a quello che chiedi tu) è come "combinare" questi integrali.
Per esempio potremmo voler fare l'integrale tra $0$ e $+\infty$ di $1/x$.
Per poter conservare la proprietà dell'integrale di essere "spezzabile" su più insiemi, l'unica possibilità è che i limiti che dobbiamo fare esistano tutti indipendentemente, e che siano facilmente combinabili (cioè non possiamo avere $+\infty - \infty$).
Condizione necessaria e sufficiente perché questo sia vero è che siano sommabili parte positiva e parte negativa $f$, e almeno una delle due abbia integrale finito.
Se vuoi ti dò le mie dispense di analisi 1... Dimmi dove mandartele perché un tempo erano online ma ad un certo punto sono state tolte (credo per motivi di anzinità, non tutti tengono online tutti i file delle dispense dall'età primitiva ad adesso!)
Io ce le ho salvate da qualche parte in PDF...
Primo caso: funzione con una singolarità (in un punto $a$)
Sia $f : ]a , b] \to RR$ continua (dove $-\infty < a < b <+\infty$).
Se esiste il limite
$\lim_{c \to a+} \int_a^c{f(t) dt}$
chiamiamo tale limite integrale improprio di $f$ su $] a , b [$.
Secondo caso: insieme di misura infinita
Sia $f : [a , +\infty[$ continua.
Se esiste il limite
$\lim_{L \to +\infty} \int_a^L{f(t) dt}$
chiamiamo tale limite integrale improprio di $f$ su $[ a , +\infty [$.
Queste definizioni sono abbastanza intuitive e credo che non abbiano bisogno di essere commentate. Se invece hai bisogno di ulteriori chiarimenti, basta chiedere.
Il punto (cioè la spiegazione a quello che chiedi tu) è come "combinare" questi integrali.
Per esempio potremmo voler fare l'integrale tra $0$ e $+\infty$ di $1/x$.
Per poter conservare la proprietà dell'integrale di essere "spezzabile" su più insiemi, l'unica possibilità è che i limiti che dobbiamo fare esistano tutti indipendentemente, e che siano facilmente combinabili (cioè non possiamo avere $+\infty - \infty$).
Condizione necessaria e sufficiente perché questo sia vero è che siano sommabili parte positiva e parte negativa $f$, e almeno una delle due abbia integrale finito.
Se vuoi ti dò le mie dispense di analisi 1... Dimmi dove mandartele perché un tempo erano online ma ad un certo punto sono state tolte (credo per motivi di anzinità, non tutti tengono online tutti i file delle dispense dall'età primitiva ad adesso!)
Io ce le ho salvate da qualche parte in PDF...
"irenze":
Gli integrali impropri sono gli integrali su insiemi dove la funzione integranda ha delle singolarità oppure su insiemi di misura infinita. E non ci credo che non li hai mai visti!
Mi sono espresso male. Non ho mai detto di non averli mai visti. Ho altresì detto che non li ho mai trattati approfonditamente dal punto di vista teorico.
Così come i vari concetti di integrale. Ad esempio, non conosco bene la teoria dell'integrale di Lebesgue, ma da qui a dire che non ho mai visto un integrale ce ne correrebbe.
"irenze":
Il punto (cioè la spiegazione a quello che chiedi tu) è come "combinare" questi integrali.
Per esempio potremmo voler fare l'integrale tra $0$ e $+\infty$ di $1/x$.
Per poter conservare la proprietà dell'integrale di essere "spezzabile" su più insiemi, l'unica possibilità è che i limiti che dobbiamo fare esistano tutti indipendentemente, e che siano facilmente combinabili (cioè non possiamo avere $+\infty - \infty$).
Condizione necessaria e sufficiente perché questo sia vero è che siano sommabili parte positiva e parte negativa $f$, e almeno una delle due abbia integrale finito.
Ok capisco cosa vuoi dire.
Ti ringrazio molto per il tempo e la pazienza profusi.
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