Sulle successioni di Cauchy

[Gianmaster08]

Dimostrare con un controesempio che la coppia (xn), (yn) di successioni di Cauchy
corrispondente ad una sezione (X, Y ) in base alla Proposizione 1.6 non è unica.

Proposizione 1.6
Data una sezione (X, Y ) in Q, esistono due successioni (xn) e (yn) diCauchy tali che, per ogni n appartenente ad N, xn appartenente ad X, yn appartenente ad Y , e yn − xn =1/n

[gugo82]

"Jean-Paul":Dimostrare con un controesempio che la coppia (xn), (yn) di successioni di Cauchy
corrispondente ad una sezione (X, Y ) in base alla Proposizione 1.6 non è unica.

Proposizione 1.6
Data una sezione (X, Y ) in Q, esistono due successioni (xn) e (yn) diCauchy tali che, per ogni n appartenente ad N, xn appartenente ad X, yn appartenente ad Y , e yn − xn =1/n

Scusa, qual è il problema? cosa vuoi chiederci?

Non sono ancora un buon telepate, quindi mi vengono spontanee queste due domande quando non vedo un punto interrogativo.

[Gianmaster08]

...significa quello che ho scritto, ossia "Fare una dimostrazione con un controesempio...tenendo conto della seguente proposizione".

Proposizione 1.6
Data una sezione (X, Y ) in Q, esistono due successioni (xn) e (yn) diCauchy tali che, per ogni n appartenente ad N, xn appartenente ad X, yn appartenente ad Y , e yn − xn =1/n

[Studente Anonimo]

Ma è un esercizio che proponi o non riesci a trovare il controesempio? Cosi', giusto per capire...

[Gianmaster08]

Semplicemente non riesco a trovare questo fantomatico "controesempio" per dimostrare quello che devo dimostrare!
Se poteste aiutarmi ve ne sarei grato.

[Studente Anonimo]

Se ho capito bene, puoi prendere $X=(-oo,1)$, $Y=(1,+oo)$, $x_n=1-1/(2n)$ oppure $x_n=1-1/(3n)$, e $y_n=x_n+1/n$.

[gugo82]

$X=]-oo,0[cap QQ$, $Y=QQ-X=[0,+oo[$ e $AAn in NN$ poni $x'_n=-1/(2n)$, $y'_n=1/(3n)$, $x''_n=-1/(3n)$, $y''_n=1/(2n)$ cosicchè:

- $y'_n-x'_n=5/(6n)=y''_n-x''_n$ con $5/(6n)<1/n$;

- $(x'_n),(x''_n),(y'_n),(y''_n)$ sono tutte di Cauchy;

- $(x'_n),(x''_n) subset X$ e $(y'_n),(y''_n) subset Y$.

Non che ci volesse tanta fantasia... insomma un po' di impegno nel fare due conti con le frazioni, ragazzo mio.


Se vuoi fare un discorso più generale, basta prendere delle opportune troncature per eccesso e per difetto della rappresentazione decimale del numero reale definito dalla sezione $(X,Y)$: ancora una volta serve un po' di impegno nel fare i conti con le frazioni e basta.