Sulle somme d'infiniti addendi
Sia $(x_n)_(n in NN)$ una successione e definiamo $s_k=sum_(n=1)^k x_n$ la somma parziale $k$-esima.
Se esiste il numero $S=lim_(k->+oo) s_k$, si dice che esso è la somma della serie...
Esso rappresenta il modo più naturale (credo...) per definire una "somma di infiniti numeri"... Tuttavia, così facendo, si perdono le proprietà basilari dell'addizione (commutatività, dissociatività, ecc...)
La domanda è questa: esiste un modo diverso di definire siffatta somma, in maniera tale che, in generale, continuino a valere le proprietà delle somme finite?
Io, dopo averci riflettuto un pò, ho pensato a questo...
Si consideri $RR$ (oppure $CC$) con la struttura di spazio vettoriale (con l'usuale somma e prodotto per scalari) sul campo $QQ$. Sia $R$ una base di $RR$ (naturalmente non ha cardinalità finita...), si vuole scrivere il vettore che corrisponde a $pi$ come combinazione lineare dei vettori di $R$... Abbiamo quindi una "somma d'infiniti vettori" che può, con qualche precisazione, essere considerata una "somma d'infiniti numeri". Note le proprietà degli spazi vettoriali e delle basi, sappiamo che $pi$ si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di $R$ e che "l'ordine degli addendi non conta" (anzi, non ha neanche senso parlare di ordine). Se il mio ragionamento fosse corretto (cosa di cui dubito fortemente...) avremmo un modo molto simpatico di definire le somme...
Spero che qualcuno più esperto di me sappia valutare la questione e darmi qualche informazione per la "retta via"!
Se esiste il numero $S=lim_(k->+oo) s_k$, si dice che esso è la somma della serie...
Esso rappresenta il modo più naturale (credo...) per definire una "somma di infiniti numeri"... Tuttavia, così facendo, si perdono le proprietà basilari dell'addizione (commutatività, dissociatività, ecc...)
La domanda è questa: esiste un modo diverso di definire siffatta somma, in maniera tale che, in generale, continuino a valere le proprietà delle somme finite?
Io, dopo averci riflettuto un pò, ho pensato a questo...
Si consideri $RR$ (oppure $CC$) con la struttura di spazio vettoriale (con l'usuale somma e prodotto per scalari) sul campo $QQ$. Sia $R$ una base di $RR$ (naturalmente non ha cardinalità finita...), si vuole scrivere il vettore che corrisponde a $pi$ come combinazione lineare dei vettori di $R$... Abbiamo quindi una "somma d'infiniti vettori" che può, con qualche precisazione, essere considerata una "somma d'infiniti numeri". Note le proprietà degli spazi vettoriali e delle basi, sappiamo che $pi$ si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di $R$ e che "l'ordine degli addendi non conta" (anzi, non ha neanche senso parlare di ordine). Se il mio ragionamento fosse corretto (cosa di cui dubito fortemente...) avremmo un modo molto simpatico di definire le somme...
Spero che qualcuno più esperto di me sappia valutare la questione e darmi qualche informazione per la "retta via"!
Risposte
ciao dorian! di spazi vettoriali di dimensione infinita so veramente molto poco, perciò il massimo che posso fare è indicare un paio di punti su cui non riesco a seguire bene il tuo ragionamento:
primo, $RR$ è un $QQ$-spazio vettoriale e su questo non ci piove, però sinceramente non so se ci sia una base numerabile, se dai qualche chiarimento mi farebbe piacere;
secondo e più importante, per quello che so io, una base di uno spazio vettoriale (finita o infinita che sia) genera lo spazio mediante combinazioni lineari finite. Mi spiego meglio:
Sia $V$ uno spazio vettoriale. Io dico che $S\sub V$ è una suo sistema di generatori se ogni vettore di $V$ è combinazione lineare di un numero finito(*) di vettori di $S$. Tra questi insiemi $S$, quelli minimali si dicono "basi". Si dimostra poi che queste basi sono tutte e sole i sistemi di generatori lin.ind., che hanno tutte la stessa cardinalità, bla bla bla.
Evidentemente qui(*) siamo in disaccordo, perché tu invece ammetti anche combinazioni lineari infinite. Onestamente questa cosa non mi convince troppo...
primo, $RR$ è un $QQ$-spazio vettoriale e su questo non ci piove, però sinceramente non so se ci sia una base numerabile, se dai qualche chiarimento mi farebbe piacere;
secondo e più importante, per quello che so io, una base di uno spazio vettoriale (finita o infinita che sia) genera lo spazio mediante combinazioni lineari finite. Mi spiego meglio:
Sia $V$ uno spazio vettoriale. Io dico che $S\sub V$ è una suo sistema di generatori se ogni vettore di $V$ è combinazione lineare di un numero finito(*) di vettori di $S$. Tra questi insiemi $S$, quelli minimali si dicono "basi". Si dimostra poi che queste basi sono tutte e sole i sistemi di generatori lin.ind., che hanno tutte la stessa cardinalità, bla bla bla.
Evidentemente qui(*) siamo in disaccordo, perché tu invece ammetti anche combinazioni lineari infinite. Onestamente questa cosa non mi convince troppo...
Ciao Dissonance! Felice di rileggerti.
Veniamo alle questioni serie: partiamo dal presupposto che so davvero poco di spazi vettoriali di dimensione infinita (ad occhio ne sai di più tu...). Ciò che penso è che prendessimo solo combinazioni lineari finite, non potremmo descrivere l'intero spazio $RR$... Non è così?
Veniamo alle questioni serie: partiamo dal presupposto che so davvero poco di spazi vettoriali di dimensione infinita (ad occhio ne sai di più tu...). Ciò che penso è che prendessimo solo combinazioni lineari finite, non potremmo descrivere l'intero spazio $RR$... Non è così?
Non ho capito come definisci la somma (e soprattutto, di cosa? di un insieme di numeri?)
Sono andato a vedere su questo pdf la definizione di base. A pagina 55 :
E poi procede a definire una base grosso modo nella maniera che dicevo prima. Quindi, solo somme finite.
Io penso che tu stia spostando il problema.
Tu dici: perché non definire una somma come una combinazione lineare infinita? Il problema è che una cosa del genere potrebbe non convergere... cioè siamo tornati al punto di partenza.
Sulla questione di $RR$ come $QQ$-spazio vettoriale, è per questo che chiedevo se ci fosse o meno una base numerabile. E forse no, sai...
Non ho idea di come possa essere fatta una cosa di questo genere.
3.2. Definizione (insiemi generatori). L’insieme S si dice un insieme di generatori per V
se= V , ovvero se ogni elemento v $\in$ V si può scrivere come combinazione lineare $v=sum_{s\inS}alpha_s s$ di
elementi di S (con gli s quasi tutti nulli).
E poi procede a definire una base grosso modo nella maniera che dicevo prima. Quindi, solo somme finite.
Io penso che tu stia spostando il problema.
Tu dici: perché non definire una somma come una combinazione lineare infinita? Il problema è che una cosa del genere potrebbe non convergere... cioè siamo tornati al punto di partenza.
Ciò che penso è che prendessimo solo combinazioni lineari finite, non potremmo descrivere l'intero spazio ℝ...
Sulla questione di $RR$ come $QQ$-spazio vettoriale, è per questo che chiedevo se ci fosse o meno una base numerabile. E forse no, sai...
Non ho idea di come possa essere fatta una cosa di questo genere.
"pic":
Non ho capito come definisci la somma (e soprattutto, di cosa? di un insieme di numeri?)
Se $x'$ è combinazione lineare "non finita" (*) di vettori di $RR$ (visto come spazio vettoriale), penso ad $RR$ come corpo (e non più come spazio vettoriale) ed idenfico:
$x'=sum_(k=1)^oo alpha_kv_k'$
con:
$x=sum_(k=1)^oo alpha_kv_k$
($x$,$v_k$ sono numeri reali, $x'$,$v_k'$ i rispettivi vettori)
Vorrei sapere se questo ragionamento è sbagliato ed, eventualmente, capire perchè.
Dissonance ha dato una buona spiegazione... Tutto sta nel capire se sono ammesse combinazioni lineari di infiniti vettori... Forse, affinchè valga il mio ragionamento, bisogna definire proprio questo...
(*) Mi rendo conto che tutto ciò è molto ambiguo... Uso le virgolette perchè non so se una simile proposizione sia lecita.
Eh, ma così devi specificare cosa intendi per somma infinita... Che cosa sarebbe $sum_{n=1}^{\infty}1*(1/n)$? Sicuramente non un numero reale.
Io penso che tu stia spostando il problema.
Tu dici: perché non definire una somma come una combinazione lineare infinita? Il problema è che una cosa del genere potrebbe non convergere... cioè siamo tornati al punto di partenza.
Si, ci sono arrivato anch'io. Ho solo spostato il problema da un corpo ad uno spazio vettoriale...
Sulla questione di come -spazio vettoriale, è per questo che chiedevo se ci fosse o meno una base numerabile. E forse no, sai...
Non ho idea di come possa essere fatta una cosa di questo genere.
Possiamo dire questo. Se le basi di $RR$ hanno un'infinità numerabile di elementi, non bastano combinazioni lineari finite per descrivere l'intero spazio... Concordi?
"dissonance":
Eh, ma così devi specificare cosa intendi per somma infinita... Che cosa sarebbe $sum_{n=1}^{\infty}1*(1/n)$? Sicuramente non un numero reale.
Non capisco...
"Dorian":
Sia $(x_n)_(n in NN)$ una successione e definiamo $s_k=sum_(n=1)^k x_n$ la somma parziale $k$-esima.
Se esiste il numero $S=lim_(k->+oo) s_k$, si dice che esso è la somma della serie...
Esso rappresenta il modo più naturale (credo...) per definire una "somma di infiniti numeri"... Tuttavia, così facendo, si perdono le proprietà basilari dell'addizione (commutatività, dissociatività, ecc...)
La domanda è questa: esiste un modo diverso di definire siffatta somma, in maniera tale che, in generale, continuino a valere le proprietà delle somme finite?
Io, dopo averci riflettuto un pò, ho pensato a questo...
Si consideri $RR$ (oppure $CC$) con la struttura di spazio vettoriale (con l'usuale somma e prodotto per scalari) sul campo $QQ$. Sia $R$ una base di $RR$ (naturalmente non ha cardinalità finita...), si vuole scrivere il vettore che corrisponde a $pi$ come combinazione lineare dei vettori di $R$... Abbiamo quindi una "somma d'infiniti vettori" che può, con qualche precisazione, essere considerata una "somma d'infiniti numeri". Note le proprietà degli spazi vettoriali e delle basi, sappiamo che $pi$ si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di $R$ e che "l'ordine degli addendi non conta" (anzi, non ha neanche senso parlare di ordine). Se il mio ragionamento fosse corretto (cosa di cui dubito fortemente...) avremmo un modo molto simpatico di definire le somme...
Spero che qualcuno più esperto di me sappia valutare la questione e darmi qualche informazione per la "retta via"!
Troppo per troppo poco.
La cosiddetta convergenza incondizionata di una serie è una proprietà molto più "banale" di quanto sembri in $RR$ e $CC$.
Credo che in Analisi I tu abbia incontrato le serie assolutamente convergenti, ossia quelle serie numeriche che hanno $\sum_(n=1)^(+oo)|x_n|<+oo$; inoltre sai che una serie assolutamente convergente è pure (semplicemente) convergente e che risulta $|\sum_(n=1)^(+oo)x_n|le \sum_(n=1)^(+oo)|x_n|$.
Ebbene le serie assolutamente convergenti sono tutte e sole quelle la cui somma non dipende in alcun modo dall'ordine degli addendi, ossia sono incondizionatamente convergenti.
Precisiamo un po' i concetti:
"Sia $\sum x_n$ una serie numerica (cioè reale o complessa).
Si dice che la serie $\sum x_n$ è incondizionatamente convergente, oppure che essa gode della proprietà commutativa in grande, se e solo se:
1) $\sum x_n$ è convergente;
2) si ha $\sum_(n=1)^(+oo)x_(sigma(n))=\sum_(n=1)^(+oo) x_n$ per ogni permutazione $sigma: NN to NN$ (ossia per ogni applicazione biiettiva di $NN$ in sé)."
Noto che se $sigma$ sposta un numero finito di termini*, allora la 2) è banale perchè si riduce all'uguaglianza della somma di due serie, una delle quali converge, che differiscono per l'ordine d'un numero finito di addendi; se invece $sigma$ sposta un numero infinito di addendi, allora l'uguaglianza $\sum_(n=1)^(+oo)x_(sigma(n))=\sum_(n=1)^(+oo) x_n$ assicura che la somma della serie non dipende dall'ordine degli addendi.
Sussiste il seguente risultato, noto col nome di Teorema di Riemann-Dini:
Una successione numerica è incondizionatamente convergente se e solo se essa è assolutamente convergente.
In particolare tutte le serie convergenti a termini non negativi godono della proprietà commutativa in grande.
__________
* Diciamo che una permutazione $sigma:NN to NN$ sposta [risp. fissa] un elemento $n in NN$ se e solo se risulta $sigma(n)!=n$ [risp. $sigma(n)=n$].
Evidentemente dire che $sigma$ sposta un numero finito di elementi significa che l'insieme ${n in NN:quad sigma(n)!=n}$ è dotato di massimo; detto $M$ tale massimo si ha $sigma(n)=n$ per ogni $n>M$ e perciò $sigma$ "scambia di posto" al più tutti i primi $M$ addendi di $\sum x_n$.
"Gugo82":
[quote="Dorian"]Sia $(x_n)_(n in NN)$ una successione e definiamo $s_k=sum_(n=1)^k x_n$ la somma parziale $k$-esima.
Se esiste il numero $S=lim_(k->+oo) s_k$, si dice che esso è la somma della serie...
Esso rappresenta il modo più naturale (credo...) per definire una "somma di infiniti numeri"... Tuttavia, così facendo, si perdono le proprietà basilari dell'addizione (commutatività, dissociatività, ecc...)
La domanda è questa: esiste un modo diverso di definire siffatta somma, in maniera tale che, in generale, continuino a valere le proprietà delle somme finite?
Io, dopo averci riflettuto un pò, ho pensato a questo...
Si consideri $RR$ (oppure $CC$) con la struttura di spazio vettoriale (con l'usuale somma e prodotto per scalari) sul campo $QQ$. Sia $R$ una base di $RR$ (naturalmente non ha cardinalità finita...), si vuole scrivere il vettore che corrisponde a $pi$ come combinazione lineare dei vettori di $R$... Abbiamo quindi una "somma d'infiniti vettori" che può, con qualche precisazione, essere considerata una "somma d'infiniti numeri". Note le proprietà degli spazi vettoriali e delle basi, sappiamo che $pi$ si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di $R$ e che "l'ordine degli addendi non conta" (anzi, non ha neanche senso parlare di ordine). Se il mio ragionamento fosse corretto (cosa di cui dubito fortemente...) avremmo un modo molto simpatico di definire le somme...
Spero che qualcuno più esperto di me sappia valutare la questione e darmi qualche informazione per la "retta via"!
Troppo per troppo poco.
La cosiddetta convergenza incondizionata di una serie è una proprietà molto più "banale" di quanto sembri in $RR$ e $CC$.
Credo che in Analisi I tu abbia incontrato le serie assolutamente convergenti, ossia quelle serie numeriche che hanno $\sum_(n=1)^(+oo)|x_n|<+oo$; inoltre sai che una serie assolutamente convergente è pure (semplicemente) convergente e che risulta $|\sum_(n=1)^(+oo)x_n|le \sum_(n=1)^(+oo)|x_n|$.
Ebbene le serie assolutamente convergenti sono tutte e sole quelle la cui somma non dipende in alcun modo dall'ordine degli addendi, ossia sono incondizionatamente convergenti.
Precisiamo un po' i concetti:
"Sia $\sum x_n$ una serie numerica (cioè reale o complessa).
Si dice che la serie $\sum x_n$ è incondizionatamente convergente, oppure che essa gode della proprietà commutativa in grande, se e solo se:
1) $\sum x_n$ è convergente;
2) si ha $\sum_(n=1)^(+oo)x_(sigma(n))=\sum_(n=1)^(+oo) x_n$ per ogni permutazione $sigma: NN to NN$ (ossia per ogni applicazione biiettiva di $NN$ in sé)."
Noto che se $sigma$ sposta un numero finito di termini, allora la 2) è banale perchè si riduce all'uguaglianza della somma di due serie che differiscono per l'ordine d'un numero finito di addendi.
Sussiste il seguente risultato, noto col nome di Teorema di Riemann-Dini:
Una successione numerica è incondizionatamente convergente se e solo se essa è assolutamente convergente.
In particolare tutte le serie convergenti a termini non negativi godono della proprietà commutativa in grande.[/quote]
E' chiaro. Ero a conoscenza di questo risultato. Io mi riferivo alle serie a segno alterno (e a tutte quelle per cui non vale la proprietà commutativa...)
Ad esempio la serie armonica a segno alterno:
$sum_(k=1)^oo (-1)^k1/k= log 2$
mentre:
$sum_(k=1)^oo x_sigma(k)= 3*log 2/2$ dove $sigma(3k)=2k$, $sigma(3k+1)=2k+1$, $sigma(3k+2)=2k+3$ e via dicendo...
Cerchiamo di fare un poco di ordine altrimenti qui non si capisce più niente! 
Cosa dici tu (correggimi se sbaglio):
Visto che $RR$ è uno spazio vettoriale su campo $QQ$ (il che è verissimo), sono definite le combinazioni lineari come operazioni dello spazio vettoriale. Perché non usare questo fatto per definire in maniera intrinseca le serie, senza passare dai limiti di successione?
Questo ci darebbe anche l'ulteriore vantaggio di non dover dipendere dall'ordine con cui effettuiamo le somme.
Su quest'ultimo punto Gugo ti risponde che la questione è già sistemata.
Su tutto il resto, provo a risponderti io.
Punto primo: come operazione di spazio vettoriale, la combinazione lineare infinita non è ben definita. Se vuoi provare a definirla, devi praticamente rifare tutto il discorso sulla convergenza delle serie. E' questo che intendevo con $sum 1*(1/n)$: è una "combinazione lineare infinita", ma a quale numero reale dovrebbe corrispondere? A nessuno: infatti dovresti dire che quella serie è +infinito, altrimenti ti troveresti di fronte a dei paradossi.
Aggiungo una cosa.
E' vero che ogni spazio vettoriale ammette una base (non te lo so dimostrare ma è possibile farlo), ma è anche vero che nessuno ci dice che tutte le basi siano numerabili.
Per esempio, lo spazio delle serie formali di potenze reali (tutti gli oggetti del tipo $sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$, definiti in maniera formale esattamente come si fa per i polinomi) non ha una base numerabile. Nel caso di $RR$ come spazio vettoriale razionale, io sinceramente non credo che una base numerabile ci sia. Infatti noi sappiamo che i numeri irrazionali formano un insieme più che numerabile, e mi pare difficile riuscire ad imbrigliarlo tutto in una base numerabile... Questo comunque è un punto interessante su cui riflettere.
Cosa dici tu (correggimi se sbaglio):
Visto che $RR$ è uno spazio vettoriale su campo $QQ$ (il che è verissimo), sono definite le combinazioni lineari come operazioni dello spazio vettoriale. Perché non usare questo fatto per definire in maniera intrinseca le serie, senza passare dai limiti di successione?
Questo ci darebbe anche l'ulteriore vantaggio di non dover dipendere dall'ordine con cui effettuiamo le somme.
Su quest'ultimo punto Gugo ti risponde che la questione è già sistemata.
Su tutto il resto, provo a risponderti io.
Punto primo: come operazione di spazio vettoriale, la combinazione lineare infinita non è ben definita. Se vuoi provare a definirla, devi praticamente rifare tutto il discorso sulla convergenza delle serie. E' questo che intendevo con $sum 1*(1/n)$: è una "combinazione lineare infinita", ma a quale numero reale dovrebbe corrispondere? A nessuno: infatti dovresti dire che quella serie è +infinito, altrimenti ti troveresti di fronte a dei paradossi.
Aggiungo una cosa.
E' vero che ogni spazio vettoriale ammette una base (non te lo so dimostrare ma è possibile farlo), ma è anche vero che nessuno ci dice che tutte le basi siano numerabili.
Per esempio, lo spazio delle serie formali di potenze reali (tutti gli oggetti del tipo $sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$, definiti in maniera formale esattamente come si fa per i polinomi) non ha una base numerabile. Nel caso di $RR$ come spazio vettoriale razionale, io sinceramente non credo che una base numerabile ci sia. Infatti noi sappiamo che i numeri irrazionali formano un insieme più che numerabile, e mi pare difficile riuscire ad imbrigliarlo tutto in una base numerabile... Questo comunque è un punto interessante su cui riflettere.
Tutto molto chiaro. Grazie a tutti per l'interesse.
Ah, ok eri a conoscenza del Teorema di Riemann-Dini...
Allora saprai pure che esso si estende in modo ovvio alle serie di vettori numerici (che hanno addendi in $RR^k$ o $CC^k$).
Vedi che in tali casi la convergenza della serie dei moduli implica la convergenza assoluta delle serie delle coordinate e perciò le somme di tali serie non dipendono dall'ordine degli addendi; appliando Riemann-Dini alle serie delle coordinate si vede che la somma di una serie di vettori assolutamente convergente non dipende dall'ordine degli addendi. E viceversa.
Per quanto riguarda spazi "più grandi" (cioè a dimensione infinita), la situazione è un po' diversa e complicata.
Una nozione utile per sviluppare la tua idea è quella di base di Schauder:
"Sia $(V,tau)$ uno spazio vettoriale topologico (su $RR$ o $CC$).
Una successione $(e_n) subset V$ si chiama base di Schauder di $V$ se e solo se:
$AA x in V, exists! (alpha_n)subset RR " (oppure " subset CC") ": quad lim_n \sum_(k=1)^nalpha_k*e_k=x " (con la convergenza nel senso della topologia "tau")"" quad$."
Insomma $(e_n)$ è una base di Schauder di $V$ se ogni vettore può essere scritto come somma di una serie fatta da multipli di vettori della base.
Però queste sono nozioni di Analisi Funzionale che non conosco bene e perciò non mi addentro molto nella questione. Noto solamente che non tutti gli spazi vettoriali topologici possiedono una base di Schauder, anche se tutti gli spazi possiedono una base nel senso dell'Algebra Lineare (una base del genere viene di solito detta base di Hamel).
Ad esempio ${1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots}$ è una base di Schauder di $RR[[x]]$ (questa è la notazione standard per l'insieme delle s.f.d.p.), quando questo spazio sia dotato di una metrica compatibile con le operazioni della sua struttura vettoriale.
Allora saprai pure che esso si estende in modo ovvio alle serie di vettori numerici (che hanno addendi in $RR^k$ o $CC^k$).
Vedi che in tali casi la convergenza della serie dei moduli implica la convergenza assoluta delle serie delle coordinate e perciò le somme di tali serie non dipendono dall'ordine degli addendi; appliando Riemann-Dini alle serie delle coordinate si vede che la somma di una serie di vettori assolutamente convergente non dipende dall'ordine degli addendi. E viceversa.
Per quanto riguarda spazi "più grandi" (cioè a dimensione infinita), la situazione è un po' diversa e complicata.
Una nozione utile per sviluppare la tua idea è quella di base di Schauder:
"Sia $(V,tau)$ uno spazio vettoriale topologico (su $RR$ o $CC$).
Una successione $(e_n) subset V$ si chiama base di Schauder di $V$ se e solo se:
$AA x in V, exists! (alpha_n)subset RR " (oppure " subset CC") ": quad lim_n \sum_(k=1)^nalpha_k*e_k=x " (con la convergenza nel senso della topologia "tau")"" quad$."
Insomma $(e_n)$ è una base di Schauder di $V$ se ogni vettore può essere scritto come somma di una serie fatta da multipli di vettori della base.
Però queste sono nozioni di Analisi Funzionale che non conosco bene e perciò non mi addentro molto nella questione. Noto solamente che non tutti gli spazi vettoriali topologici possiedono una base di Schauder, anche se tutti gli spazi possiedono una base nel senso dell'Algebra Lineare (una base del genere viene di solito detta base di Hamel).
"dissonance":
lo spazio delle serie formali di potenze reali (tutti gli oggetti del tipo $sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$, definiti in maniera formale esattamente come si fa per i polinomi) non ha una base numerabile
Ad esempio ${1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots}$ è una base di Schauder di $RR[[x]]$ (questa è la notazione standard per l'insieme delle s.f.d.p.), quando questo spazio sia dotato di una metrica compatibile con le operazioni della sua struttura vettoriale.
No, non sapevo che il teorema avesse quel nome, però conoscevo il risultato... E' riportato nel mio libro di Analisi I (anche se non è parte del programma svolto...).
Per il resto..... Ci devo pensare sù! Grazie davvero per il tempo dedicatomi!
Per il resto..... Ci devo pensare sù! Grazie davvero per il tempo dedicatomi!
Mi pare che nessuno abbia citato il modo più standard di definire una somma infinita. Peccato originale di Dorian che ha tirato in ballo gli spazi vettoriali che non c'entrano nulla. 
Anche perché se vogliamo generalizzare l'idea di somma, non vedo cosa c'entri il prodotto di un vettore con uno scalare.
Vedasi qui:
http://planetmath.org/encyclopedia/Unco ... mbers.html
Notare che se una somma infinita di numeri reali non negativi è finita, allora solo una infinità al più numerabile di addendi sarà strettamente positiva.
Anche perché se vogliamo generalizzare l'idea di somma, non vedo cosa c'entri il prodotto di un vettore con uno scalare.
Vedasi qui:
http://planetmath.org/encyclopedia/Unco ... mbers.html
Notare che se una somma infinita di numeri reali non negativi è finita, allora solo una infinità al più numerabile di addendi sarà strettamente positiva.
"Fioravante Patrone":
Mi pare che nessuno abbia citato il modo più standard di definire una somma infinita. Peccato originale di Dorian che ha tirato in ballo gli spazi vettoriali che non c'entrano nulla.
Anche perché se vogliamo generalizzare l'idea di somma, non vedo cosa c'entri il prodotto di un vettore con uno scalare.
Vedasi qui:
http://planetmath.org/encyclopedia/Unco ... mbers.html
Notare che se una somma infinita di numeri reali non negativi è finita, allora solo una infinità al più numerabile di addendi sarà strettamente positiva.
Quelle citate nel link su PlanetMath mi pare si chiamino famiglie sommabili, giusto?
Sì, vengono chiamate così.
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