Sulle funzioni a più variabili e derivata composta (teoria)
Ciao, ho bisogno ancora di un vostro gentile aiuto e vorrei provare a ripostare una domanda per cui non ho avuto risposta (oviamente per non avere doppioni sul forum ho cancellato la precedente). Questo perché queste funzioni a più variabili e derivazioni composte che ne discendono non mi vanno giù molto ma fondamentalmente vorrei capirle 
1) La prima domanda che mi tormenta e vorrei fugare è la seguente:
Ho imparato che è possibile derivare (in abuso di notazione): $(d(f(g(x))))/(d(g(x))$ (nozione che ho imparato nella chain rule dellecomposte e da qui nasce lo svarione a seguire)
Ad esempio è possibile derivare $x^4$ rispetto a $x^2$ che viene $2x$, il punto che non ho capito è se la definizione di tale procedimento sia quello di derivata classico, sempre stando nell'esempio prenderei il limite di questo rapporto incrementale:
Sarebbe questa la formalizzazione di quel che sto facendo, giusto? Ovviamente la sostituzione nel mio caso era inutile, ma sarebbe utile per la generalizzazione ad f(x), cioè in sostanza
se ho
$(d(f(g(x))))/(d(g(x))$
impongo la sostituzione y=g(x) e derivo rispetto ad y semplicemente definendo tale limite come il rapporto incrementale (con incremento tendente a zero) di y avendo cura di apportare la sostituione y=g(x) anche in $f(g(x))$
Corretto o grossolanamente errato nel concetto?
2) A questo punto il secondo dubbio sarebbe il seguente, e qui torno indietro ad analisi 1 del primo semestre in un certo senso:
E' possibile definire una derivazione rispetto a una funzione costante?
Se tanto mi dà tanto e posso fare $(d(f(g(x))))/(d(g(x))$ se allora avessi $(d(f(x)))/(d(f(x))$ con in particolare f(x) una costante (es:$f(x)=2$)
Cioè la derivata di una funzione costante rispetto alla funzione costante stessa è 1? Ma è corretto matematicamente parlado o è solo un mio errore?
Grazie, sono un po' confuso.
1) La prima domanda che mi tormenta e vorrei fugare è la seguente:
Ho imparato che è possibile derivare (in abuso di notazione): $(d(f(g(x))))/(d(g(x))$ (nozione che ho imparato nella chain rule dellecomposte e da qui nasce lo svarione a seguire)
Ad esempio è possibile derivare $x^4$ rispetto a $x^2$ che viene $2x$, il punto che non ho capito è se la definizione di tale procedimento sia quello di derivata classico, sempre stando nell'esempio prenderei il limite di questo rapporto incrementale:
Sarebbe questa la formalizzazione di quel che sto facendo, giusto? Ovviamente la sostituzione nel mio caso era inutile, ma sarebbe utile per la generalizzazione ad f(x), cioè in sostanza
se ho
$(d(f(g(x))))/(d(g(x))$
impongo la sostituzione y=g(x) e derivo rispetto ad y semplicemente definendo tale limite come il rapporto incrementale (con incremento tendente a zero) di y avendo cura di apportare la sostituione y=g(x) anche in $f(g(x))$
Corretto o grossolanamente errato nel concetto?
2) A questo punto il secondo dubbio sarebbe il seguente, e qui torno indietro ad analisi 1 del primo semestre in un certo senso:
E' possibile definire una derivazione rispetto a una funzione costante?
Se tanto mi dà tanto e posso fare $(d(f(g(x))))/(d(g(x))$ se allora avessi $(d(f(x)))/(d(f(x))$ con in particolare f(x) una costante (es:$f(x)=2$)
Cioè la derivata di una funzione costante rispetto alla funzione costante stessa è 1? Ma è corretto matematicamente parlado o è solo un mio errore?
Grazie, sono un po' confuso.
Risposte
Nessuna delle cose che proponi ha senso.
Avresti voglia di aiutarmi a capire cosa vuol dire quel derivare una funzione rispetto a una funzione (anziché alla solita x)? Per favore.Te ne sarei davvero grato.
- Derivare f(g(x)) rispetto a una g(x) cosa vuol dire parlando in rapporti incrementali? Me la ero risolta come nella 1).
- Se ha senso tale derivazione perché non posso derivare f(x) rispetto a f(x) intendendola come f(x)=cost e avere come risultato =1? (domanda 2). Tecnicamnete dovrebbe essere come derivare x rispetto a x.
Queste due domande escono dalla chain rule che in effetti fa derivare la prima funzione rispetto all'argomento e poi l'argomento rispetto alla variabile, e il mio dubbio si focalizza sul primo passaggio.
Ti ringrazio molto, ma devo cercare di porre rimedio a questa mia incomprensione e da solo non ci riesco
- Derivare f(g(x)) rispetto a una g(x) cosa vuol dire parlando in rapporti incrementali? Me la ero risolta come nella 1).
- Se ha senso tale derivazione perché non posso derivare f(x) rispetto a f(x) intendendola come f(x)=cost e avere come risultato =1? (domanda 2). Tecnicamnete dovrebbe essere come derivare x rispetto a x.
Queste due domande escono dalla chain rule che in effetti fa derivare la prima funzione rispetto all'argomento e poi l'argomento rispetto alla variabile, e il mio dubbio si focalizza sul primo passaggio.
Ti ringrazio molto, ma devo cercare di porre rimedio a questa mia incomprensione e da solo non ci riesco
L'ho già detto: non vuol dire nulla.
Si deriva rispetto ad una variabile, non ad una funzione.
Si deriva rispetto ad una variabile, non ad una funzione.
Ti ringrazio per la risposta ma devi scusarmi per l'ottusità.
Il punto che non mi risulta chiaro è perché quando svolgo la chain rule a conti fatti derivo proprio la funzione esterna rispetto a quella interna (trattandola come variabile). E questa cosa formalmente non capisco come vederla, pensavo di giustificarla facendo un cambio di variabile (ossia nominare la funzione interna come y variabile e derivare rispetto ad y).
Invece se mi dici che non è così mi disorienta, ovviamente accetto le tue parole che per me sono verità assoluta (non sono ironico), ma non riesco a capire come definirla in modo formale questa cosa e sento il bisogno di capirla a fondo.
Non so se sono riuscito a trasmettere il dubbio, ma ci spero
Il punto che non mi risulta chiaro è perché quando svolgo la chain rule a conti fatti derivo proprio la funzione esterna rispetto a quella interna (trattandola come variabile). E questa cosa formalmente non capisco come vederla, pensavo di giustificarla facendo un cambio di variabile (ossia nominare la funzione interna come y variabile e derivare rispetto ad y).
Invece se mi dici che non è così mi disorienta, ovviamente accetto le tue parole che per me sono verità assoluta (non sono ironico), ma non riesco a capire come definirla in modo formale questa cosa e sento il bisogno di capirla a fondo.
Non so se sono riuscito a trasmettere il dubbio, ma ci spero
Ciao!
Non derivi la funzione esterna rispetto a quella interna bensì derivi la funzione esterna e la valuti in quella interna.
Non derivi la funzione esterna rispetto a quella interna bensì derivi la funzione esterna e la valuti in quella interna.
Grazie anto, mi state facendo soffermare su a ragionare!
In effetti mi sono espresso male, però ammetto che mi sembravano la stessa cosa, ti spiego:
Se volessi derivare $(x^3+1)^2$ il primo passaggio sarebbe quello di derivare così (chiamo la funzione interna y) : $2(y)$ in qeusto senso intendevo derivare rispetto a quella interna, cioè mi sembra di nomiare la funzione interna come variabile libera e poi derivare rispetto a quella.
Poi come dici tu la valuto in quella interna, ossia sostituisco a y il valore $y=x^3+1=>2(x^3+1)$ però a conti fatti non ho proprio derivato rispetto alla interna? Ho solo cambiato nome e considerata come libera.
In effetti mi sono espresso male, però ammetto che mi sembravano la stessa cosa, ti spiego:
Se volessi derivare $(x^3+1)^2$ il primo passaggio sarebbe quello di derivare così (chiamo la funzione interna y) : $2(y)$ in qeusto senso intendevo derivare rispetto a quella interna, cioè mi sembra di nomiare la funzione interna come variabile libera e poi derivare rispetto a quella.
Poi come dici tu la valuto in quella interna, ossia sostituisco a y il valore $y=x^3+1=>2(x^3+1)$ però a conti fatti non ho proprio derivato rispetto alla interna? Ho solo cambiato nome e considerata come libera.
Ma la derivata corretta di quella funzione non è $2*(x^3+1)$
infatti se poni $f(x)=x^3+1$ e $g(x)=x^2$ quello che devi calcolare è la derivata di $g(f(x))=(x^3+1)^2$
infatti prima fai la derivata di $g(x)$ che è $2x$ e la valuti in $f(x)$ che diventa $g'(f(x))=2*(x^3+1)$
e poi la moltiplichi per la derivata di $f$ che è $3x^2$ da cui la derivata
derivi funzioni rispetto a punti e non rispetto a funzioni.
infatti se poni $f(x)=x^3+1$ e $g(x)=x^2$ quello che devi calcolare è la derivata di $g(f(x))=(x^3+1)^2$
infatti prima fai la derivata di $g(x)$ che è $2x$ e la valuti in $f(x)$ che diventa $g'(f(x))=2*(x^3+1)$
e poi la moltiplichi per la derivata di $f$ che è $3x^2$ da cui la derivata
$d/dxg(f(x))=g'(f(x))*f'(x)=6x^2(x^3+1)$
derivi funzioni rispetto a punti e non rispetto a funzioni.
Scusa mi devo essere spiegato male, stavo solo facendo la derivata del primo pezzo, per la derivata completa ovviamente devo moltiplicarla per la derivata interna. Ma sicomme su quella non ho dubbi non mi ero soffermato a scriverla.
Il mio errore concettuale quindi era che consideravo $g(y)=y^2$ e consideravo come se compissi proprio una sostituzione $y=(x^3+1)$. In realtà svolgo la derivata e poi la valuto in f(x).
Ti faccio un'altra domanda per capire meglio spero non mi odierai
, ma tutto ruota attorno a questo e a ritroso sono finito alla chain rule.
Quindi per questo gugo diceva che non ha senso derivare x^4 rispetto x^2? I
-porto un esempio- $(d(x^4))/(d(x^2))=2x^2$.
Questa cosa non ha senso matematico? Eppure se nomino $y=x^2$ diventerebbe proprio la derivata di $y^2$ cioè con abuso notazionale: $(d(y^2))/(d(y))=2y$ e poi sostituisco ottenendo $2x^2$. Per questo parlavo di derivata rispetto a una funzione. Ma a quanto capisco non ha senso questo ragionamento, giusto?
(questa mi sembrava la prima parte della chain)
Il mio errore concettuale quindi era che consideravo $g(y)=y^2$ e consideravo come se compissi proprio una sostituzione $y=(x^3+1)$. In realtà svolgo la derivata e poi la valuto in f(x).
Ti faccio un'altra domanda per capire meglio spero non mi odierai
, ma tutto ruota attorno a questo e a ritroso sono finito alla chain rule.Quindi per questo gugo diceva che non ha senso derivare x^4 rispetto x^2? I
-porto un esempio- $(d(x^4))/(d(x^2))=2x^2$.
Questa cosa non ha senso matematico? Eppure se nomino $y=x^2$ diventerebbe proprio la derivata di $y^2$ cioè con abuso notazionale: $(d(y^2))/(d(y))=2y$ e poi sostituisco ottenendo $2x^2$. Per questo parlavo di derivata rispetto a una funzione. Ma a quanto capisco non ha senso questo ragionamento, giusto?
(questa mi sembrava la prima parte della chain)
la scrittura $(df)/(dx)$ non ha alcun significato se non quello puramente notazionale ma non va preso troppo sul serio. La notazione corretta e completa vede la scrittura seguente
Quel $dx$ serve a ricordarti quale sia la variabile in questione; in poche parole la "lettera"
Inoltre derivare una composizione non significa derivare una funzione rispetto a una funzione; significa derivare una funzione e basta.
La regola della catena, formalmente, ti dice la seguente cosa
letteralmente significa "deriva $f$, componi a destra di quest'ultima la funzione $g$ e moltiplica tutto per la derivata della funzione $g$"
il motivo di questo deriva dal teorema della derivata di una composizione di funzione il quale serve proprio a chiarire cosa succede quando vai a derivare questa composizione.
nel tuo esempio consideri che $x^4=(x^2)^2$ quindi tu dici; pongo $y=x^2$ e quindi $x^4=y^2$.
Va bene ma sostanzialmente cosa te ne fai? la tua funzione è $y=x^4$ e la variabile è $x$
Non continuiamo a ribattere sulla stessa risposta per farti muro ma semplicemente per non farti prendere un palo grande quanto una casa; quando andrai a fare analisi due e capirai il senso del differenziale di una funzione capirai la reale forma della derivata. Per adesso ti devi fare bastare il fatto che la derivata si faccia rispetto a punti e non rispetto a funzioni e non devi vederla come una imposizione piuttosto devi semplicemente renderti conto che è stata definita in questo modo.
$(df)/(dx)(x_0)=lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
Quel $dx$ serve a ricordarti quale sia la variabile in questione; in poche parole la "lettera"
Inoltre derivare una composizione non significa derivare una funzione rispetto a una funzione; significa derivare una funzione e basta.
La regola della catena, formalmente, ti dice la seguente cosa
$(fcircg)'=(f'circg)*g'$
letteralmente significa "deriva $f$, componi a destra di quest'ultima la funzione $g$ e moltiplica tutto per la derivata della funzione $g$"
il motivo di questo deriva dal teorema della derivata di una composizione di funzione il quale serve proprio a chiarire cosa succede quando vai a derivare questa composizione.
nel tuo esempio consideri che $x^4=(x^2)^2$ quindi tu dici; pongo $y=x^2$ e quindi $x^4=y^2$.
Va bene ma sostanzialmente cosa te ne fai? la tua funzione è $y=x^4$ e la variabile è $x$
Non continuiamo a ribattere sulla stessa risposta per farti muro ma semplicemente per non farti prendere un palo grande quanto una casa; quando andrai a fare analisi due e capirai il senso del differenziale di una funzione capirai la reale forma della derivata. Per adesso ti devi fare bastare il fatto che la derivata si faccia rispetto a punti e non rispetto a funzioni e non devi vederla come una imposizione piuttosto devi semplicemente renderti conto che è stata definita in questo modo.
[EDIT: scusate ho editato un errorino]
Benissimissimo ora mi è chiaro il senso della composta
Volevo inoltre sottolineare che in realtà mi fa davvero piacere tu stia continuando a ribattere perché vuol dire che non ti ho annoiato con la mia stupidità e mi aiuta a crescere ogni discorso. Questo per dirti grazie davvero!
Volevo focalizzarmi sull'ultima cosa
ho usato y per rinominare però forse era un nome infelice, chiamo t (mi son permesso di modificarlo nel quote)...
sia $y=x^4$ faccio la sostituzione $t=x^2$
esatto, il mio dubbio era se rinominando con t quella funzione potessi considerare la t come variabile e farmi la derivata di $g(t)=t^2$ rispetto a $t$ (cioè derivare g(t) rispetto a t, normalmente) e poi sostituendo ottenere a conti fatti la derivata di $x^4$ rispetto $x^2$ (essendo $t=x^2$ per l'appunto ossia ora ho la variabile t=t(x)).
Lasciando da parte il discorso della composizione che era sbagliato e ho capito ora, quello che mi lascia perplesso è che mi avete detto non avere senso questa sostituzione e non capisco l'ingippo dove sia (mi spaventa questo non vederlo
)
Con questo trucchetto mi sembra di poter ora derivare una funzione rispetto ad un'altra che tratto come ora come variabile libera, non so se ora risulti più chiaro
Mi stai evitando i pali
Benissimissimo ora mi è chiaro il senso della composta
Volevo inoltre sottolineare che in realtà mi fa davvero piacere tu stia continuando a ribattere perché vuol dire che non ti ho annoiato con la mia stupidità e mi aiuta a crescere ogni discorso. Questo per dirti grazie davvero!
Volevo focalizzarmi sull'ultima cosa
"anto_zoolander":
nel tuo esempio consideri che $x^4=(x^2)^2$ quindi tu dici; pongo $t=x^2$ e quindi $x^4=t^2$.
Va bene ma sostanzialmente cosa te ne fai? la tua funzione è $y=x^4$ e la variabile è $x$
ho usato y per rinominare però forse era un nome infelice, chiamo t (mi son permesso di modificarlo nel quote)...
sia $y=x^4$ faccio la sostituzione $t=x^2$
esatto, il mio dubbio era se rinominando con t quella funzione potessi considerare la t come variabile e farmi la derivata di $g(t)=t^2$ rispetto a $t$ (cioè derivare g(t) rispetto a t, normalmente) e poi sostituendo ottenere a conti fatti la derivata di $x^4$ rispetto $x^2$ (essendo $t=x^2$ per l'appunto ossia ora ho la variabile t=t(x)).
Lasciando da parte il discorso della composizione che era sbagliato e ho capito ora, quello che mi lascia perplesso è che mi avete detto non avere senso questa sostituzione e non capisco l'ingippo dove sia (mi spaventa questo non vederlo
)Con questo trucchetto mi sembra di poter ora derivare una funzione rispetto ad un'altra che tratto come ora come variabile libera, non so se ora risulti più chiaro
Mi stai evitando i pali
Perché ti preme così tanto questa cosa di derivare rispetto alle funzioni? Non è definita e non ha senso
Ti dico questo perché anche se tu calcolassi un valore per $(dx^4)/(dx^2)$ nessuno potrebbe dirti se è corretto o meno perché non è definito.
È un po’ come chiedere se $1/0=infty$
Non ha senso perché non è definito l’inverso di $0$ quindi a meno di considerare una forzatura, come un abuso di notazione, quella resta una cosa non definita.
Ti dico questo perché anche se tu calcolassi un valore per $(dx^4)/(dx^2)$ nessuno potrebbe dirti se è corretto o meno perché non è definito.
È un po’ come chiedere se $1/0=infty$
Non ha senso perché non è definito l’inverso di $0$ quindi a meno di considerare una forzatura, come un abuso di notazione, quella resta una cosa non definita.
Grazie mille anto! Non so il perché (non ha un senso pragmatico intendo) ma ho sempre pensato fosse possibile e quindi mi creava ansia il non capire perché quella sostituzione e quindi derivare $t^2$ rispetto a $t(x)$ non fosse come derivare rispetto a una variabile (che è una cosa fattibile).
Il busillis è che mi sembra rinominandola allora quella derivata prenda senso (posso infatti derivare per t)
Il busillis è che mi sembra rinominandola allora quella derivata prenda senso (posso infatti derivare per t)
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