Sulle coordinate polari

[anto_zoolander]

è da un po' che mi ripromettevo di dimostrare questo fatto

definisco $RR_(2pi)=[0,2pi)$ e $RR^(geq)=[0,+infty)$

sia $f:Omega->RR$ funzione con $OmegasubseteqRR^2$ e $(x_0,y_0) in D(Omega)$ e la funzione $g:RR^(geq)timesRR_(2pi)->RR^2$ definita come $g(r, theta)=(x_0+rcostheta,y_0+rsintheta)$: le seguenti condizioni sono equivalenti

$lim_(r->0)f(g(r, theta))=l$ uniformemente rispetto a $theta$

$lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l$

lemma

la funzione $g(r, theta)=(x_0+rcostheta,y_0+rsintheta)$ è continua uniformemente rispetto a $theta$ in $r=0$ ovvero che $forallepsilon>0exists delta>0: forallr in RR^(geq) (0 ||g(r, theta)-g(0,theta)||

banalmente poichè $||g(r, theta)-g(0,theta)||=r$ quindi se $0

supponiamo che $existsl in RR:lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l$
questo è banalmente una conseguenza del teorema sulle funzioni composte in quanto

$g-> (x_0,y_0)$ in $0$ e $(x_0,y_0) in D(Omega)$
$g$ è definitivamente distinta da $(x_0,y_0)$
$f->l$ in $(x_0,y_0)$

quindi $fcircg ->l$
chiaramente questo vale uniformemente rispetto a $theta$ e il motivo è semplicemente

$0 forallthetain RR_(2pi)(0<||g(r, theta)-(x_0,y_0)|||f(g(r, theta))-l|
ora che $existsl in RR:lim_(r->0)f(g(r, theta))=l$ uniformemente rispetto a $theta$
sostanzialmente si deve provare che $f$ ammetta limite, in quanto varrebbe la condizione precedente e per l'unicità del limite devono essere uguali. Comunque se

$forallepsilon>0existsdelta>0: forallr in RR^(geq)(0 |f(g(r, theta))-l|
ora [size=80]$forall(x,y) in Omega( 0<||(x,y)-(x_0,y_0)||
quindi si ottiene che $0 |f(x,y)-l|=|f(g(r, theta))-l|
però su questa ultima implicazione non sono molto sicuro.
Delucidazioni?

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Risposte

dissonance

7 giu 2018, 08:37

Questo è uno di quei fatti che il mago di John Baez ha ordinato di tenere nascosti sui libri di testo. Comunque, mi piacerebbe aiutarti, ma davvero non riesco a leggere tutto questo papiro. Adesso poi vedo che ti è piaciuto usare questo terribile linguaggio dei logici \(\exists ... \forall ... (... ) [...]\), che rende il tutto ancora più illeggibile.

Se scrivi solo la domanda, in linguaggio degli esseri umani, limitando al massimo i connettivi logici, e in modo sintetico, ci posso pensare.

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anto_zoolander

7 giu 2018, 08:54

Diciamo che mi piace utilizzarli, ma non so spiegarti il motivo.

per la prima implicazione semplicemente è la conseguenza del limite di una funzione composta dove
$g->_(x_0)y_0$ di accumulazione per il dominio di $f$
$g$ è definitivamente distinta dal limite
$f->l$ è convergente in $y_0$

quindi la funzione composta tende ad $l$ in $y_0$

per quanto riguarda la seconda implicazione mi sono mosso con l'idea che il passaggio a coordinate polari sia una funzione biunivoca da $[0,+infty)times[0,2pi)->RR^2$ quindi in poche parole uso semplicemente questo fatto in questo modo

per ipotesi posso sempre maggiorare a piacere $||overline(f)(r, theta)-l||
graficamente sarebbe giustificato dal fatto che tutti i punti che stanno su una circonferenza di raggio minore di $delta$ mi verificano il limite, ma penso che infondo il passaggio cruciale sia giustificato semplicemente dal fatto che posso passare da un punto in coordinate polari a uno in coordinate cartesiane per mezzo di una biunivocità

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dissonance

7 giu 2018, 10:04

Di nuovo. Scrivi solo una domanda per favore. Sintetica. Non un flusso di coscienza.

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anto_zoolander

7 giu 2018, 10:06

mi dai riferimenti?

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dissonance

7 giu 2018, 10:06

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anto_zoolander

7 giu 2018, 10:14

a parte lo scherzo: il motivo per cui tengo alla correttezza delle dimostrazioni è perchè tengo un quadernetto dove piano piano scrivo tutte le dimostrazioni che ho fatto(ovviamente non lo uso tipo appendice).

chiaramente quello che mi servirebbe è capire se ciò che ho scritto sia corretto, ma capisco che sia uno sbattimento ogni volta per chi legge.

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dissonance

7 giu 2018, 10:40

È una buona idea tenere delle note personali, ma ti sconsiglio di lasciarle su carta. Scrivile in Latex. Questo ti costringe a essere più sintetico e preciso e ti dà un buon allenamento per quando dovrai scrivere tesi e articoli. Inoltre, te le conservi online ed eviti fogli volanti, che si perdono e sono difficili da consultare.

Lo dice pure lui:

https://terrytao.wordpress.com/career-a ... ouve-done/

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anto_zoolander

7 giu 2018, 11:23

Hai un testo per ogni cosa

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dissonance

7 giu 2018, 11:53

Comunque, per dimostrare questa cosa (che è facile), sbarazzati di tutta questa nomenclatura inutile e assumi che \((x_0, y_0)=(0,0)\) e che \(l=0\). Non perdi di generalità.

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anto_zoolander

7 giu 2018, 12:21

La sostanza è la stessa considererei che fissato $r$ si ha $X_(theta)=(rcostheta,rsintheta)$ con la semplice considerazione che

$||X_(theta)||=r$

E chiaramente se $0|f(X_(theta))| $X in B(0,delta)$ esistono $r,theta$ per cui $X=(rcostheta,rsintheta)$ con $r

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dissonance

7 giu 2018, 13:42

Non ho capito. Che cosa stai dimostrando? Ricordati che non ho letto i messaggi precedenti

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anto_zoolander

7 giu 2018, 13:45

Sto dicendo in maniera più sintetica possibile che se la funzione $f(rcostheta,rsintheta)->0$ uniformemente rispetto a $theta$ allora $f->l$

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dissonance

7 giu 2018, 15:40

"anto_zoolander":La sostanza è la stessa considererei che fissato $r$ si ha $X_(theta)=(rcostheta,rsintheta)$ con la semplice considerazione che

$||X_(theta)||=r$

Ok, vabbé.

E chiaramente se $0|f(X_(theta))|

Questo è il punto importante, è qui che si vede l'importanza dell'uniformità rispetto a \(\theta\), ma tu non lo giustifichi come si deve.

$X in B(0,delta)$ esistono $r,theta$ per cui $X=(rcostheta,rsintheta)$ con $rNon si capisce niente.

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anto_zoolander

7 giu 2018, 16:12

Io apprezzo il modo con cui cerchi di farmi dire le stesse cose con meno parole, ma proprio mi piace essere prolisso, quindi potrebbe volerci molto tempo.

sempre con l'edit:
puoi anche non leggere lo spoiler

se per assurdo esistesse un $epsilon>0$ per ogni $delta>0$ per cui esista almeno un $x in Omega$ tale che si verifichi $0<||x||
dall'altro lato preso lo stesso $epsilon>0$ si otterrà $mu>0$ per cui $0 |f(X_(theta))|
e per $delta=mu$ si dovrebbe avere una contraddizione considerando che basta prendere $r=||x||$ per ottenere la contraddizione

edit:
che sono pollo, bastava proprio considerare $r=||x||$ dall'inizio visto che poi per l'uniformità rispetto a $theta$ ottenevo che il punto $||x||(costheta,sintheta)$ mi verificava $|f(X_(theta))|

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dissonance

7 giu 2018, 16:24

Più che prolisso o non prolisso, una cosa che vedo è che spesso non sei chiaro. (Qualcuno di recente ti ha scherzosamente accusato di parlare "Klingon", il che significa che non sono l'unico a vedere questo fatto). Prova a rileggere i tuoi ultimi due post. Dimmi francamente se ci capisci qualche cosa.

Questo succede sopratutto quando scrivi note personali. Quando rispondi agli esercizi degli altri va molto meglio.

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anto_zoolander

7 giu 2018, 16:29

Ma in tutto questo le due righe che ho scritto sono corrette(quelle fuori lo spoiler)?

Penso che sia dato dal fatto che quando risolvo qualcosa devo farmi capire quindi riduco all’osso le menate.
Quando metto qualcosa per me invece tendo a complicare la vita a tutti.

Ma sto diminuendo, giuro.

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dissonance

8 giu 2018, 08:05

Scrivo un po' come lo farei io, per spiegare cosa intendo con "chiarezza" e per spiegare dove secondo me tu sbagli sistematicamente.

Teorema. Sia \(f\colon \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to \mathbb R\). Sono equivalenti:
1. Esiste \(l\in\mathbb R\) tale che
\[
\lim_{(x, y)\to (0,0)} f(x, y)=l.\]
2. Si ha che
\[
\lim_{r\to 0^+}\sup_{\theta\in [0, 2\pi]} |f(r\cos \theta, r\sin \theta)-l|=0.
\]

Dimostrazione. A patto di sostituire \(f\) con \(f-l\) possiamo supporre \(l=0\). L'esistenza del limite nella 1. significa che per ogni \(\epsilon>0\) esiste \(\delta>0\) tale che, se \(x^2+y^2\le \delta^2\), allora
\[\tag{1}
|f(x, y)|\le \epsilon.\]
Ponendo \(x=r\cos \theta, y=r\sin \theta\) si ha che \(r^2=x^2+y^2\), perciò se \(r\le\delta\) allora dalla (1) segue che
\[
|f(r\cos \theta, r\sin \theta)|\le \epsilon.\]
Passando al sup nell'ultima disuguaglianza (cosa possibile perché essa sussiste per ogni valore di \(\theta\)) si ottiene la 2. Questo dimostra che \(1\Rightarrow 2\). La dimostrazione inversa è analoga. \(\square\)

Ora, io lo so che tu lo sai, come dice Celentano, nel senso che hai afferrato il concetto. Però non ti sei mai preso la briga di scrivere con calma i dettagli, e di organizzare la dimostrazione con ordine. Hai semplicemente vomitato tutti i tuoi pensieri, alla rinfusa, sul forum. Da un lato, questa è una mancanza di rispetto verso il lettore, che non mi piace. Dall'altro lato, ti priva di un momento fondamentale dell'apprendimento della matematica, il momento di riordinare le idee.

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anto_zoolander

8 giu 2018, 16:26

La cosa che più mi ha colpito è il quadratino del fine corsa

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axpgn

8 giu 2018, 17:35

Sciocchino

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otta96

8 giu 2018, 19:45

Scritto così non mi piace molto:

"dissonance":Teorema. Sia \(f\colon \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to \mathbb R\). Sono equivalenti:
1. Esiste \(l\in\mathbb R\) tale che \[\lim_{(x, y)\to (0,0)} f(x, y)=l.\]
2. Si ha che \[\lim_{r\to 0^+}\sup_{\theta\in [0, 2\pi]} |f(r\cos \theta, r\sin \theta)-l|=0.\]

Io avrei scritto:
Teorema. Sia \(f\colon \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to \mathbb R\), per ogni \(l\in\mathbb R\) sono equivalenti:

1. \[\lim_{(x, y)\to (0,0)} f(x, y)=l.\]
2. Si ha che \[\lim_{r\to 0^+}\sup_{\theta\in [0, 2\pi]} |f(r\cos \theta, r\sin \theta)-l|=0.\]
Perché sennò non si capisce cosa dovrebbe essere la $l$ nel punto 2.

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[dissonance]

Questo è uno di quei fatti che il mago di John Baez ha ordinato di tenere nascosti sui libri di testo. Comunque, mi piacerebbe aiutarti, ma davvero non riesco a leggere tutto questo papiro. Adesso poi vedo che ti è piaciuto usare questo terribile linguaggio dei logici \(\exists ... \forall ... (... ) [...]\), che rende il tutto ancora più illeggibile.

Se scrivi solo la domanda, in linguaggio degli esseri umani, limitando al massimo i connettivi logici, e in modo sintetico, ci posso pensare.

[anto_zoolander]

Diciamo che mi piace utilizzarli, ma non so spiegarti il motivo.

per la prima implicazione semplicemente è la conseguenza del limite di una funzione composta dove
$g->_(x_0)y_0$ di accumulazione per il dominio di $f$
$g$ è definitivamente distinta dal limite
$f->l$ è convergente in $y_0$

quindi la funzione composta tende ad $l$ in $y_0$

per quanto riguarda la seconda implicazione mi sono mosso con l'idea che il passaggio a coordinate polari sia una funzione biunivoca da $[0,+infty)times[0,2pi)->RR^2$ quindi in poche parole uso semplicemente questo fatto in questo modo

per ipotesi posso sempre maggiorare a piacere $||overline(f)(r, theta)-l||
graficamente sarebbe giustificato dal fatto che tutti i punti che stanno su una circonferenza di raggio minore di $delta$ mi verificano il limite, ma penso che infondo il passaggio cruciale sia giustificato semplicemente dal fatto che posso passare da un punto in coordinate polari a uno in coordinate cartesiane per mezzo di una biunivocità

[dissonance]

Di nuovo. Scrivi solo una domanda per favore. Sintetica. Non un flusso di coscienza.

[anto_zoolander]

mi dai riferimenti?

[dissonance]

[anto_zoolander]

a parte lo scherzo: il motivo per cui tengo alla correttezza delle dimostrazioni è perchè tengo un quadernetto dove piano piano scrivo tutte le dimostrazioni che ho fatto(ovviamente non lo uso tipo appendice).

chiaramente quello che mi servirebbe è capire se ciò che ho scritto sia corretto, ma capisco che sia uno sbattimento ogni volta per chi legge.

[dissonance]

È una buona idea tenere delle note personali, ma ti sconsiglio di lasciarle su carta. Scrivile in Latex. Questo ti costringe a essere più sintetico e preciso e ti dà un buon allenamento per quando dovrai scrivere tesi e articoli. Inoltre, te le conservi online ed eviti fogli volanti, che si perdono e sono difficili da consultare.

Lo dice pure lui:

https://terrytao.wordpress.com/career-a ... ouve-done/

[anto_zoolander]

Hai un testo per ogni cosa

[dissonance]

Comunque, per dimostrare questa cosa (che è facile), sbarazzati di tutta questa nomenclatura inutile e assumi che \((x_0, y_0)=(0,0)\) e che \(l=0\). Non perdi di generalità.

[anto_zoolander]

La sostanza è la stessa considererei che fissato $r$ si ha $X_(theta)=(rcostheta,rsintheta)$ con la semplice considerazione che

$||X_(theta)||=r$

E chiaramente se $0|f(X_(theta))| $X in B(0,delta)$ esistono $r,theta$ per cui $X=(rcostheta,rsintheta)$ con $r

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Non ho capito. Che cosa stai dimostrando? Ricordati che non ho letto i messaggi precedenti

[anto_zoolander]

Sto dicendo in maniera più sintetica possibile che se la funzione $f(rcostheta,rsintheta)->0$ uniformemente rispetto a $theta$ allora $f->l$

[dissonance]

"anto_zoolander":La sostanza è la stessa considererei che fissato $r$ si ha $X_(theta)=(rcostheta,rsintheta)$ con la semplice considerazione che

$||X_(theta)||=r$

Ok, vabbé.

E chiaramente se $0|f(X_(theta))|

Questo è il punto importante, è qui che si vede l'importanza dell'uniformità rispetto a \(\theta\), ma tu non lo giustifichi come si deve.

$X in B(0,delta)$ esistono $r,theta$ per cui $X=(rcostheta,rsintheta)$ con $rNon si capisce niente.

[anto_zoolander]

Io apprezzo il modo con cui cerchi di farmi dire le stesse cose con meno parole, ma proprio mi piace essere prolisso, quindi potrebbe volerci molto tempo.

sempre con l'edit:
puoi anche non leggere lo spoiler

se per assurdo esistesse un $epsilon>0$ per ogni $delta>0$ per cui esista almeno un $x in Omega$ tale che si verifichi $0<||x||
dall'altro lato preso lo stesso $epsilon>0$ si otterrà $mu>0$ per cui $0 |f(X_(theta))|
e per $delta=mu$ si dovrebbe avere una contraddizione considerando che basta prendere $r=||x||$ per ottenere la contraddizione

edit:
che sono pollo, bastava proprio considerare $r=||x||$ dall'inizio visto che poi per l'uniformità rispetto a $theta$ ottenevo che il punto $||x||(costheta,sintheta)$ mi verificava $|f(X_(theta))|

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Più che prolisso o non prolisso, una cosa che vedo è che spesso non sei chiaro. (Qualcuno di recente ti ha scherzosamente accusato di parlare "Klingon", il che significa che non sono l'unico a vedere questo fatto). Prova a rileggere i tuoi ultimi due post. Dimmi francamente se ci capisci qualche cosa.

Questo succede sopratutto quando scrivi note personali. Quando rispondi agli esercizi degli altri va molto meglio.

[anto_zoolander]

Ma in tutto questo le due righe che ho scritto sono corrette(quelle fuori lo spoiler)?

Penso che sia dato dal fatto che quando risolvo qualcosa devo farmi capire quindi riduco all’osso le menate.
Quando metto qualcosa per me invece tendo a complicare la vita a tutti.

Ma sto diminuendo, giuro.

[dissonance]

Scrivo un po' come lo farei io, per spiegare cosa intendo con "chiarezza" e per spiegare dove secondo me tu sbagli sistematicamente.

Teorema. Sia \(f\colon \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to \mathbb R\). Sono equivalenti:
1. Esiste \(l\in\mathbb R\) tale che
\[
\lim_{(x, y)\to (0,0)} f(x, y)=l.\]
2. Si ha che
\[
\lim_{r\to 0^+}\sup_{\theta\in [0, 2\pi]} |f(r\cos \theta, r\sin \theta)-l|=0.
\]

Dimostrazione. A patto di sostituire \(f\) con \(f-l\) possiamo supporre \(l=0\). L'esistenza del limite nella 1. significa che per ogni \(\epsilon>0\) esiste \(\delta>0\) tale che, se \(x^2+y^2\le \delta^2\), allora
\[\tag{1}
|f(x, y)|\le \epsilon.\]
Ponendo \(x=r\cos \theta, y=r\sin \theta\) si ha che \(r^2=x^2+y^2\), perciò se \(r\le\delta\) allora dalla (1) segue che
\[
|f(r\cos \theta, r\sin \theta)|\le \epsilon.\]
Passando al sup nell'ultima disuguaglianza (cosa possibile perché essa sussiste per ogni valore di \(\theta\)) si ottiene la 2. Questo dimostra che \(1\Rightarrow 2\). La dimostrazione inversa è analoga. \(\square\)

Ora, io lo so che tu lo sai, come dice Celentano, nel senso che hai afferrato il concetto. Però non ti sei mai preso la briga di scrivere con calma i dettagli, e di organizzare la dimostrazione con ordine. Hai semplicemente vomitato tutti i tuoi pensieri, alla rinfusa, sul forum. Da un lato, questa è una mancanza di rispetto verso il lettore, che non mi piace. Dall'altro lato, ti priva di un momento fondamentale dell'apprendimento della matematica, il momento di riordinare le idee.

[anto_zoolander]

La cosa che più mi ha colpito è il quadratino del fine corsa

[axpgn]

Sciocchino

[otta96]

Scritto così non mi piace molto:

"dissonance":Teorema. Sia \(f\colon \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to \mathbb R\). Sono equivalenti:
1. Esiste \(l\in\mathbb R\) tale che \[\lim_{(x, y)\to (0,0)} f(x, y)=l.\]
2. Si ha che \[\lim_{r\to 0^+}\sup_{\theta\in [0, 2\pi]} |f(r\cos \theta, r\sin \theta)-l|=0.\]

Io avrei scritto:
Teorema. Sia \(f\colon \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to \mathbb R\), per ogni \(l\in\mathbb R\) sono equivalenti:

1. \[\lim_{(x, y)\to (0,0)} f(x, y)=l.\]
2. Si ha che \[\lim_{r\to 0^+}\sup_{\theta\in [0, 2\pi]} |f(r\cos \theta, r\sin \theta)-l|=0.\]
Perché sennò non si capisce cosa dovrebbe essere la $l$ nel punto 2.