Sulle coordinate polari

[anto_zoolander]

è da un po' che mi ripromettevo di dimostrare questo fatto

definisco $RR_(2pi)=[0,2pi)$ e $RR^(geq)=[0,+infty)$

sia $f:Omega->RR$ funzione con $OmegasubseteqRR^2$ e $(x_0,y_0) in D(Omega)$ e la funzione $g:RR^(geq)timesRR_(2pi)->RR^2$ definita come $g(r, theta)=(x_0+rcostheta,y_0+rsintheta)$: le seguenti condizioni sono equivalenti

$lim_(r->0)f(g(r, theta))=l$ uniformemente rispetto a $theta$

$lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l$

lemma

la funzione $g(r, theta)=(x_0+rcostheta,y_0+rsintheta)$ è continua uniformemente rispetto a $theta$ in $r=0$ ovvero che $forallepsilon>0exists delta>0: forallr in RR^(geq) (0 ||g(r, theta)-g(0,theta)||

banalmente poichè $||g(r, theta)-g(0,theta)||=r$ quindi se $0

supponiamo che $existsl in RR:lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l$
questo è banalmente una conseguenza del teorema sulle funzioni composte in quanto

$g-> (x_0,y_0)$ in $0$ e $(x_0,y_0) in D(Omega)$
$g$ è definitivamente distinta da $(x_0,y_0)$
$f->l$ in $(x_0,y_0)$

quindi $fcircg ->l$
chiaramente questo vale uniformemente rispetto a $theta$ e il motivo è semplicemente

$0 forallthetain RR_(2pi)(0<||g(r, theta)-(x_0,y_0)|||f(g(r, theta))-l|
ora che $existsl in RR:lim_(r->0)f(g(r, theta))=l$ uniformemente rispetto a $theta$
sostanzialmente si deve provare che $f$ ammetta limite, in quanto varrebbe la condizione precedente e per l'unicità del limite devono essere uguali. Comunque se

$forallepsilon>0existsdelta>0: forallr in RR^(geq)(0 |f(g(r, theta))-l|
ora [size=80]$forall(x,y) in Omega( 0<||(x,y)-(x_0,y_0)||
quindi si ottiene che $0 |f(x,y)-l|=|f(g(r, theta))-l|
però su questa ultima implicazione non sono molto sicuro.
Delucidazioni?

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Risposte

dissonance

8 giu 2018, 21:06

È giusto.

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[dissonance]

È giusto.