Sulla numerabile additività di misure con certe proprietà

[Sk_Anonymous]

Let \(\mu: \mathcal{A} \to [0,+\infty]\) a positive finitely additive measure.
(i) Assume that for every decreasing sequence \(A_0 \supseteq A_1 \supseteq \dots \) of elements of \(\mathcal{A}\) with empty intersection we have \(\lim_{n \to \infty} \mu(A_n)=0\). Then \(\mu\) is countably additive.
(ii) Assume that \(\mu\) verifies the thesis of the proposition above, that is: for every decreasing sequence \(A_0 \supseteq A_1 \supseteq \dots \) whose intersection \(A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \) belongs to \(\mathcal{A} \), and is such that \(\mu(A_m)\) for some \(n \in \mathbb{N}\), we have \(\lim_{n \to \infty} \mu(A_n)=\mu(A)\). Prove that \(\mu_{| \mathcal{F}(\mu)}\) is countably additive; here \(\mathcal{F}(\mu)= \{ A \in \mathcal{A} \; : \; \mu(A) < \infty \} \) is the ideal of sets of finite misure.

Svolgimento.
(i) - Preliminarmente direi che da \(\lim_{n \to \infty} \mu(A_n)=0\) posso dedurre che \(\mu(A_n) < \infty \) definitivamente, e che a meno di permutazioni degli indici e/o di "eliminazione" dei primi termini posso supporre \(\mu(A_0) < \infty\); prendo dunque una successione \((B_n)_{n \in \mathbb{N}} \) di insiemi disgiunti che mi serve per verificare l'additività numerabile, e la prendo tale che \(B_n = A_n \setminus A_{n+1} \) (qui ho scimmiottato un trick di una dimostrazione visto a lezione... ho giustificato il passaggio invocando l'arbitrarietà della \((A_n)_{n \in \mathbb{N}}\), anche se non sono completamente convinto). Osservo ora che \[ \bigcup_{n =0}^{m} (A_n \setminus A_{n+1}) = A_0 \setminus A_{m+1}\] usando poi congiuntamente proprietà delle somme telescopiche e additività finita si ha che \[\sum_{n=0}^{m} \mu(A_n \setminus A_{n+1} ) = \mu(A_0) - \mu(A_{m+1}) = \mu \left(\bigcup_{n =0}^{m} (A_n \setminus A_{n+1}) \right) \]Per concludere osservo che \[\bigcup_{n =0}^{\infty} (A_n \setminus A_{n+1}) = A_0 \] e che quindi \[\sum_{n=0}^{\infty} \mu(B_n) = \mu \left( \bigcup_{n =0}^{\infty} B_n \right) \]passando per il fatto che \[\sum_{n=0}^{\infty} \mu(A_n \setminus A_{n+1} )= \lim_{m \to \infty} [\mu(A_0) - \mu(A_m)]=\mu(A_0)\]

(ii) - Credo che qui si possa condurre un ragionamento analogo, nel senso che sfruttando ora la continuità dall'alto potrei prendere successioni decrescenti ove ogni termine ha misura finita (come sopra) per scrivere la mia generica successione \((B_n)_{n \in \mathbb{N}}\) e concludere similmente a sopra.

Che ne dite?

Ringrazio.

[Seneca1]

Ho cancellato il messaggio precedente. Dunque, per (i): se $(B_n)_n$ successione di insiemi a due a due disgiunti (arbitraria) prendi:
\[ A_n = \bigcup_{m=n}^\infty B_m \]
e a questa applichi l'ipotesi come hai fatto. Così, se non vedo male, hai giustificato quel passaggio...

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio per il check. Ho letto anche il tuo msg precedente, ed in effetti l'ho detto male. Intendevo questo: presa una generica successione \((B_n)_{n \in \mathbb{N}}\) di insiemi disgiunti, chi mi dice che esiste una \((A_n)_{n \in \mathbb{N}}\) con le proprietà richieste tale che si abbia proprio \(B_n = A_n \setminus A_{n+1}\)? Risposta (?): me la costruisco ad hoc (come hai appena fatto tu).
(ii) mi sembra proprio una generalizzazione di (i), e i passaggi sono molto simili. Al massimo ne posto una prova più avanti.