Sulla notazione circa gli integrali indefiniti

[luca97xd]

Buondì a tutti gente. Ho un dubbio circa gli integrali indefiniti, intesi come totalità delle primitive di una funzione: siano dunque \(\displaystyle f:dom(f)\rightarrow\mathbb{R} \) una funzione derivabile con \(\displaystyle dom(f)\subseteq\mathbb{R} \) e \(\displaystyle x\in dom(f) \). La nota scrittura

\(\displaystyle \int f'(x)dx=f(x)+c \)

con \(\displaystyle c\in\mathbb{R} \) mostra una evidentemente imprecisione di notazione, da che il primo membro dell'equazione sta a denotare un insieme di funzioni: sia dunque \(\displaystyle \int f'(x)dx=\left\{ f(x)+c:c\in\mathbb{R}\right\} \).

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Da che la funzione definita da \(\displaystyle \log(-x)+c_1 \) per \(\displaystyle x\in]-\infty,0[ \) e \(\displaystyle \log(+x)+c_2 \) per \(\displaystyle x\in]0,+\infty[ \) è una particolare soluzione di \(\displaystyle \int x^{-1}dx \) anche per \(\displaystyle c_1\neq c_2 \), si ha che \(\displaystyle \left\{ \log|x|+c:c\in\mathbb{R}\right\} \) è il sottoinsieme stretto dell'insieme delle soluzioni, per il solo caso \(\displaystyle c_1=c_2 \). Dunque si ha che la scrittura

\(\displaystyle \int x^{-1}dx=
\begin{cases}
\{\log(-x)+c_1:c_1\in\mathbb{R}\} &\ \ x<0 \\ \\
\{\log(+x)+c_2:c_2\in\mathbb{R}\} &\ \ x>0
\end{cases} \)

descrive la soluzione generale effettiva. Comprendo che il fulcro del problema nella descrizione della soluzione stia nella definizione di integrale indefinito tramite intervalli: è dunque quella sopra una buona analisi?

[luca97xd]

p.s.
eventualmente mi garba, tra le altre, la scrittura \(\displaystyle \int x^{-1}dx=\{\log|x|+\xi'\mathrm{sgn}(x)+\xi'':\xi',\xi''\in\mathbb{R}\} \), che scrivo servendomi della funzione segno.

[donald_zeka]

Eh?

[luca97xd]

"Vulplasir":Eh?

Il problema nasce dal fatto che l'applicazione che ad una data funzione ne associa la derivata di ordine primo non è iniettiva, dunque l'inversa, vista come integrale indefinito, è un insieme di più applicazioni. Si ha che \(\displaystyle \int f'(x)dx \) è eguale a \(\displaystyle f(x)+c_1 \), \(\displaystyle f(x)+c_2 \), \(\displaystyle ... \) e dunque genera un insieme del tipo \(\displaystyle \left\{ f(x)+c:c\in\mathbb{R}\right\} \).


In parallelo alla trattazione algebrica delle classi laterali con notazione additiva, non mi pare sconveniente porre

\(\displaystyle \int f'(x)dx=\left\{ f(x)+c:c\in\mathbb{R}\right\}=:f(x)+\mathbb{R} \)

giusto per economia di notazione, ben definita perché esse differiscono per una costante reale. Per altro torna comoda la linearità

\(\displaystyle (\alpha f(x)+\beta g(x))+\mathbb{R}=\int (\alpha f(x)+\beta g(x))'dx=\alpha\int f'(x)dx+\beta \int g'(x)dx=\alpha (f(x)+\mathbb{R})+\\ +\beta (g(x)+\mathbb{R}) \)

con \(\displaystyle (\alpha f(x)+\beta g(x))+\mathbb{R}=\alpha (f(x)+\mathbb{R})+\beta (g(x)+\mathbb{R}) \) che è esattamente quanto accade a livello algebrico in un gruppo quoziente, per il quale \(\displaystyle (f(x)+\mathbb{R})+(g(x)+\mathbb{R}):=(f(x)+g(x))+\mathbb{R} \) e \(\displaystyle \alpha (f(x)+\mathbb{R}):=(\alpha f(x))+\mathbb{R} \).

[dissonance]

Ma io lascerei perdere, l'integrale indefinito è un vecchio arnese che a volte è comodo nella pratica, ma certamente non stiamo qui a formalizzare tanto la sua teoria. (Ho già detto varie volte che io lo abolirei)

[Luca.Lussardi]

Infatti, l'integrale per me e' solo definito.