Sulla lipschitzianetà
Salve a tutti!
Avrei bisogno di una piccola delucidazione riguardante la lipschitzianetà di una funzione reale di variabile reale.
Vorrei sapere se
\[ y:I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ è lipschitziana} \Leftrightarrow y \text{ non presenta asintoti verticali in } I \]
dove $I$ è un intervallo.
Avrei bisogno di una piccola delucidazione riguardante la lipschitzianetà di una funzione reale di variabile reale.
Vorrei sapere se
\[ y:I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ è lipschitziana} \Leftrightarrow y \text{ non presenta asintoti verticali in } I \]
dove $I$ è un intervallo.
Risposte
Beh, ciò che hai scritto è giusto, anche se la definizione formale viene data in altre maniere. Comunque a logica è vero, perchè una funzione lipschitziana non può crescere all'infinito ( cosa che fa un'asintoto) o meglio, non può avere un coefficiente angolare che cresce infinitamente.
però,esistono funzioni che non hanno asintoti verticali e che non sono lipschitziane
Si infatti, ha ragione quantunquemente, ad esempio $e^x$ confuta quell'affermazione.
Comunque, la definizione è questa: $f: D sube RR ->RR text( lipschitziana se ) |f(x) - f(y) | <= K*|x-y|, AA x,y in D$, dove $K$ è una costante reale.
Un criterio molto utile (ma applicabile solo a funzioni derivabili) per capire se f è lipschitziana è questo: detta $f^{\prime}$ la derivata di $f$ in $D$, ho che $f text( lipschitziana su D) <=> f^{\prime} text( limitata)$. In sintesi, se f è lipschitziana, la sua crescita può avvenire al più linearmente. Si tratta di una proprietà molto utilizzata, ad esempio nei problemi di Cauchy con O.D.E.
Comunque, wikipedia ne sa quanto ti basta in merito.
Tanto per essere pignoli, è corretto dire \[ y:I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ è lipschitziana} \Rightarrow y \text{ non presenta asintoti verticali in } I \]Chiaramente se c'è un asintoto verticale la crescita è ben più che lineare
Comunque, la definizione è questa: $f: D sube RR ->RR text( lipschitziana se ) |f(x) - f(y) | <= K*|x-y|, AA x,y in D$, dove $K$ è una costante reale.
Un criterio molto utile (ma applicabile solo a funzioni derivabili) per capire se f è lipschitziana è questo: detta $f^{\prime}$ la derivata di $f$ in $D$, ho che $f text( lipschitziana su D) <=> f^{\prime} text( limitata)$. In sintesi, se f è lipschitziana, la sua crescita può avvenire al più linearmente. Si tratta di una proprietà molto utilizzata, ad esempio nei problemi di Cauchy con O.D.E.
Comunque, wikipedia ne sa quanto ti basta in merito.
Tanto per essere pignoli, è corretto dire \[ y:I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ è lipschitziana} \Rightarrow y \text{ non presenta asintoti verticali in } I \]Chiaramente se c'è un asintoto verticale la crescita è ben più che lineare
Io non ho detto che tutte quelle che non hanno asintoti sono lipschitziane, bensì che una funzione lipschitziana non può crescere all infinito e quindi avere asintoti verticali
gost ha scritto un'equivalenza,se tu dici che ciò che ha scritto è giusto...........
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