Sulla differenziabilità

[anto_zoolander]

Ciao.

Vorrei sapere se la seguente costruzione del differenziale di una funzione tra spazi normati fosse corretta.

per prima cosa a seguire considererò:

- due spazi normati $V,W$ di dimensioni $dimV=n$ e $dimW=m$
- basi $B_V={v_1,...,v_n}$ e $B_W={w_1,...,w_m}$
- $f:U->W$ funzione con $U$ aperto di $V$

per prima cosa poichè $f(U)subseteqW$ possiamo considerare delle generiche $f_1,...,f_m:U->RR$ per cui si abbia

$f(x)=sum_(k=1)^(m)f_k(x)w_k$

chiaramente per ogni base fissata le funzioni sono univocamente determinate.
Per prima cosa è bene notare che la derivabilità parziale di una funzione del genere è strettamente legata alla derivabilità delle singole funzioni scalari.

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$lim_(t->0)(f(x+tv_k)-f(x))/t=sum_(j=1)^(m)[lim_(t->0)(f_k(x+tv_k)-f_k(x))/t]w_j=sum_(j=1)^(m)partial_kf_j(x)w_j$

[/size]

vogliamo mostrare che se $f$ è differenziabile in $x$ allora è derivabile in $x$.
dunque supponiamo che esista una applicazione lineare $L:U->W$ tale che valga

$lim_(h->0)(f(x+h)-f(x)-L(h))/(||h||)=0$

allora per considerando la derivabilità parziale

[size=83]

$lim_(t->0)(f(x+tv_k)-f(x))/t=lim_(t->0)[||v_k||(|t|)/t*(f(x+tv_k)-f(x)-L(tv_k))/(||tv_k||)+L(v_k)]=L(v_k)$

[/size]
ora per $t->0$ si ha che $tv_k->0$ e per differenziabilità il primo prodotto tende a zero poichè prodotto di una costante, una funzione limitata e una infinitesima. Il secondo termine è costante quindi il limite resta verificato e questo implica che la funzione sia derivabile parzialmente.
Per quanto provato precedentemente si deve avere, data la derivabilità

$L(v_k)=sum_(j=1)^(m)partial_kf_j(x)w_j,forallk=1,...,m$

dunque l'immagine di tale applicazione sarà $L(U)= $

dunque la matrice rappresentativa di $L$ sarà proprio

$H(x)=[(partial_1f_1(x),partial_2f_1(x),...,partial_nf_1(x)),(partial_1f_2(x),partial_2f_2(x),...,partial_nf_2(x)),( : , : , ... , : ),(partial_1f_m(x),partial_2f_m(x),...,partial_nf_m(x))]$

con $df(x,h)=H(x)*h$ differenziale della funzione in $x$ pertanto in generale per una funzione differenziabile

$f(x+h)=f(x)+df(x,h)+||h||*sigma(h)$

dove $sigma$ è definita in un intorno bucato di $h=0$ ed è infinitesima per $h->0$

ok questo per quanto riguarda questo tipo di funzioni
ora volevo dimostrare la formula di Taylor del secondo ordine a partire da quanto dimostrato fino ad ora.

so che una funzione $f:U->RR$ differenziabile ha $df(x,h)=nablaf(x)*h$

so che $nablaf:U->V$ differenziabile ha $d^2f(x,h)=H(x)*h$

come posso arrivare a $f(x+h)=f(x)+df(x,h)+1/2d^2f(x,h)+o(||h||)$? o comunque alla forma corretta, qualora questa non lo fosse.

[dissonance]

Insomma mi hai fatto leggere per dieci minuti prima di arrivare alla domanda! Non potevi scrivere la domanda direttamente? La formula di Taylor si dimostra considerando la restrizione di \(f\) ad un segmento. Si ottiene una funzione di una sola variabile da differenziare due volte. Il mio riferimento preferito su questo argomento è Lang, "Undergraduate analysis", capitolo "Derivatives in vector spaces".

[anto_zoolander]

La prima domanda era sulla correttezza per quanto riguarda calcoli e passaggi nella costruzione della matrice $H$.
Dopo la scrittura in grassetto c'è l'altra domanda, quindi sono due

Ora vedo di prendere questo libro