Sulla derivabilità
Domando conferme intorno allo svolgimento del seguente:
Svolgimento:
Allora, siccome è derivabile in \(\displaystyle x=0 \), la funzione è ivi continua, quindi \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \; f(x)=1 \). Posso affermare che \[\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}=0 \]?
Io direi di sì in quanto il numeratore è costantemente uguale a \(\displaystyle 0 \) per la proprietà di continuità della funzione, mentre il denominatore tende a \(\displaystyle 0 \) (ma chiaramente non potrà mai essere nullo).
Se quanto ho detto è corretto, \(\displaystyle e^{f \;' (0)}=1 \) e risulta proprio \[\displaystyle \lim_{x \to 0} (f(x))^{1/x}=1 \]
Spero di non aver detto troppe scemenze.
Sia \(\displaystyle f \) derivabile in \(\displaystyle x=0 \) e tale che \(\displaystyle f(0)=1 \). Mostrare che esiste \[\displaystyle \lim_{x \to 0} (f(x))^{1/x}=e^{f\; '(0)} \]
Svolgimento:
Allora, siccome è derivabile in \(\displaystyle x=0 \), la funzione è ivi continua, quindi \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \; f(x)=1 \). Posso affermare che \[\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}=0 \]?
Io direi di sì in quanto il numeratore è costantemente uguale a \(\displaystyle 0 \) per la proprietà di continuità della funzione, mentre il denominatore tende a \(\displaystyle 0 \) (ma chiaramente non potrà mai essere nullo).
Se quanto ho detto è corretto, \(\displaystyle e^{f \;' (0)}=1 \) e risulta proprio \[\displaystyle \lim_{x \to 0} (f(x))^{1/x}=1 \]
Spero di non aver detto troppe scemenze.
Risposte
Certo che si! Non mi sembra di avere letto niente di sbagliato. A patto che tu sappia spiegarmi il perchè di:
$lim_(h -> 0) (f(h)-1)/h=0$
$lim_(h -> 0) (f(h)-1)/h=0$
Perdonate la franchezza, ma... il ragionamento è completamente sbagliato.
Prendi $f$ continua in $x_0$ di accumulazione per il dominio di $f$. Allora, se il tuo ragionamento fosse corretto, [tex]\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \to 0[/tex] quando $x \to x_0$. In altre parole: qualunque derivata è nulla, il che è assurdo come ben sai
Dammi retta, passa agli esponenziali...
Prendi $f$ continua in $x_0$ di accumulazione per il dominio di $f$. Allora, se il tuo ragionamento fosse corretto, [tex]\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \to 0[/tex] quando $x \to x_0$. In altre parole: qualunque derivata è nulla, il che è assurdo come ben sai
Dammi retta, passa agli esponenziali...
Pure io pongo l'attenzione sullo stesso limite che dicono i Paoli, e aggiungo:
Si, certo che si e senza bisogno di aggiungere altro! E' scritto nella traccia che quel limite fa zero. No? Basta ricordarsi che \(f(0)=1\)... ma \(f\) è anche derivabile... quindi per definizione...
[EDIT] Uuh, meno male che ho riletto. No, no, ferma tutto, ho detto una fesseria!!!
Chissà dove avevo letto nelle ipotesi \(f'(0)=0\).
"Delirium":
Posso affermare che \[\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}=0 \]?
Si, certo che si e senza bisogno di aggiungere altro! E' scritto nella traccia che quel limite fa zero. No? Basta ricordarsi che \(f(0)=1\)... ma \(f\) è anche derivabile... quindi per definizione...
[EDIT] Uuh, meno male che ho riletto. No, no, ferma tutto, ho detto una fesseria!!!
Chissà dove avevo letto nelle ipotesi \(f'(0)=0\).
Non voglio levare a nessuno lo sfizio di risolvere il problema così com'è posto, ma permettetemi un'osservazione.
Se la \(f\) fosse derivabile intorno a \(0\) (anziché solo in \(0\)), una volta tanto usare il teorema del marchese non guasterebbe.
Si ha \(f(x)>0\) intorno a \(0\), dunque:
\[
[f(x)]^{1/x} = \exp \left( \frac{1}{x}\ f(x)\right)\; ;
\]
ma allora:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\ \ln f(x) \stackrel{H}{=} \lim_{x\to 0} \frac{f^\prime (x)}{f(x)} = f^\prime (0)
\]
e perciò:
\[
\lim_{x\to 0} [f(x)]^{1/x} = \lim_{x\to 0} \exp \left( \frac{1}{x}\ f(x)\right) = \exp \Big( f^\prime (0)\Big)\; .
\]
Se la \(f\) fosse derivabile intorno a \(0\) (anziché solo in \(0\)), una volta tanto usare il teorema del marchese non guasterebbe.
Si ha \(f(x)>0\) intorno a \(0\), dunque:
\[
[f(x)]^{1/x} = \exp \left( \frac{1}{x}\ f(x)\right)\; ;
\]
ma allora:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\ \ln f(x) \stackrel{H}{=} \lim_{x\to 0} \frac{f^\prime (x)}{f(x)} = f^\prime (0)
\]
e perciò:
\[
\lim_{x\to 0} [f(x)]^{1/x} = \lim_{x\to 0} \exp \left( \frac{1}{x}\ f(x)\right) = \exp \Big( f^\prime (0)\Big)\; .
\]
Devo avere dei buchi nella testa, ma è comunque evidente che non ho affrontato queste cose abbastanza approfonditamente, al liceo, e ora falsi ricordi mi fregano. Cancellando la cagata (ennesima) che ho detto (e per questo mi meriterei davvero un picconata in mezzo agli occhi), passo agli esponenziali come consigliato da Paolo90 ( - ho fatto un ragionamento circolare?): \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \ (f(x))^{1/x}=\lim_{x \to 0} \ e^{\frac{\log f(x)}{x}}=\lim_{x \to 0} \ e^{\frac{\log f(x)}{f(x)-1} \frac{f(x)-1}{x}} \]
Ora, all'esponente riconosco un limite notevole ed un rapporto incrementale. Siccome per ipotesi la funzione è derivabile in \(\displaystyle x=0 \) e \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \ \frac{\log f(x)}{f(x)-1}=1 \]
ne concludo che \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \ (f(x))^{1/x} = e^{f \; ' (0)} \]
Così mi pare che possa funzionare. Non avevo neanche ben compreso la consegna dell'esercizio.
Ora, all'esponente riconosco un limite notevole ed un rapporto incrementale. Siccome per ipotesi la funzione è derivabile in \(\displaystyle x=0 \) e \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \ \frac{\log f(x)}{f(x)-1}=1 \]
ne concludo che \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \ (f(x))^{1/x} = e^{f \; ' (0)} \]
Così mi pare che possa funzionare. Non avevo neanche ben compreso la consegna dell'esercizio.
E già Delirium, bella soluzione. 
Si anche questa soluzione mi sembra chiara! GRazie per l'osservazione 
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