Sulla definizione di limite e verifica del limite

[limitato]

Ciao,

avrei una domanda e non so darmi risposta e quindi provo qui con voi esperti di matematica.

Mi chiedevo cosa succederebbe se nella definizione di limite scrivessi $|f(x)-c|<=epsilon$ anziché il minore stretto.

Inoltre nel caso della definizione di continuità nel punto x0, anche qui c'è minore stretto, e perché non $|f(x)-f(x_0)|<=epsilon$

Mi sapreste aiutare su questi due punti?

[gugo82]

"limitato":Mi chiedevo cosa succederebbe se nella definizione di limite scrivessi $ |f(x)-c|<=epsilon $ anziché il minore stretto.

Inoltre nel caso della definizione di continuità nel punto x0, anche qui c'è minore stretto, e perché non $ |f(x)-f(x_0)|<=epsilon $

Mi sapreste aiutare su questi due punti?

Beh, non succede nulla.

In effetti, come esercizio, potresti dimostrare che le due formulazioni sono del tutto equivalenti.

[limitato]

Ciao

La mia idea era la seguente: devo dimostrare <=>, quindi:

per dimostrare che coincidono le due definizioni ho due passi,
- io so che se ho $a a<=b$ quindi questa parte è ovvia.
- la parte più articolata è che $|f(x)-c|<=epsilon => |f(x)-c|
Il punto che non funziona però è qui:
$|f(x)-c|<=epsilon$ <=> $|f(x)-c|
se riesco a dimostrare che $|f(x)-c|=epsilon$ non sussiste mai ho finito, ma qui mi blocco perché mi pare che l'uguale può (anche) valere, non riesco a vedere perché non ci sia mail, e quindi non mi pare che siano la stessa definizione.

[gugo82]

Il punto è che $epsilon$ è quantificato con $AA$.
Quindi fissato $epsilon > 0$ esiste $delta$ in modo che $|f(x) - c| <= epsilon/2$, perciò...

[limitato]

Credo di aver capito:

valendo per $|f(x)−c|≤ε/2$, quindi al più è uguale a $ε/2$ => $|f(x)-c|≤ε/2

Solo una domanda per un formalismo "logico" (per riprendere il ragionamento che avevo fatto e capire anche la congiunzione or), secondo te sarebbe anche corretto dire:
dato che vale per epsilon scelto che torvo un delta tale per cui ho che vale: $|f(x)−c|≤ε/2$ allora siccome posso scrivere che $|f(x)−c|≤ε$ <=> $|f(x)−c|<ε$ OR $|f(x)−c|=ε$, noto però che essendo quel modulo al più uguale a $epsilon/2$, allora $|f(x)−c|=ε$ è sempre falsa, quindi dell'or rimane: $|f(x)−c|≤ε$ <=> $|f(x)−c|<ε$ in questo caso specifico.

Cioè ripetendo in altre parole: la mia idea è che:$|f(x)−c|≤ε$ è identico a scrivere minore stretto di epsilon o uguale a epsilon. Tuttavia valendo certamente per definizione col minore uguale che $|f(x)−c|≤ε/2$, allora non si verifica mai l'uguaglianza con epsilon nell' OR logico e quindi ho solo il caso minore stretto che mi rimane possibile.



Mi piacerebbe poi romperti le scatole con un ultimo quesito: se io rifacessi la definizione di limite con $forall epsilon >=0$, qui, cosa cambierebbe? Non riesco bene a figurarmelo

[gugo82]

Scusa, ma non vedo tutto sto problema... Quella che stai descrivendo è la dimostrazione del fatto che "$a <= b$ e $b < c$ implica $a
Per quanto riguarda il resto, se mettessi $epsilon >= 0$ le uniche funzioni ad avere limite (ed essere continue) sarebbero le applicazioni costanti. Perché?

[limitato]

Grazie mille gugo82 per aiutarmi!

Scusa, ma non vedo tutto sto problema... Quella che stai descrivendo è la dimostrazione del fatto che "a≤b e b
Sì, certo. Volevo solo capire se spiegata in quel modo potesse comunque valere. Perché non mi sembrava di compiere errori nella logica del discorso. Era solo una curiosità aggiuntiva per formalizzare il pensiero.
Alla fine $a<=b$ vuol dire $a

Per quanto riguarda il resto, se mettessi ε≥0 le uniche funzioni ad avere limite (ed essere continue) sarebbero le applicazioni costanti. Perché?

Non lo so . Nel senso che non avrei risposto così.

In questo caso (del per ogni $epsilon>=0$) mi sembrava che le due definizioni che si erano dimostrare uguali, ossia quella che usava $|f(x)−c|≤ε$ e quella che usava $|f(x)−c|<ε$ non sono più per nulla interscambiabili.

avrei infatti:
- per il primo dei due, che dovendo valere la definizione di limite: per ogni $epsilon>=0$, allora vale nello specifico anche per $epsilon=0$, per esso trovo il delta ecc ecc. tale per cui: $|f(x)−c|≤0$. ora: un valore assoluto non è mai minore di zero, quindi $|f(x)−c|=0$ e quindi f(x)=c in quel punto.
Però non capisco perché debba essere costante, dato che questa definizione di limite potrebbe, preso un secondo punto, portarci a $|f(x)−b|=0$ => f(x)=b in questo secondo punto.

- per il secondo caso $epsilon>=0$, allora vale nello specifico anche per $epsilon=0$, per esso trovo il delta ecc ecc tale per cui: $|f(x)−c|<0$. Falso! Questa definizione non va mai bene. Nessuna funzione ammetterebbe limite.

Perché non va bene?

[gugo82]

"limitato":

Scusa, ma non vedo tutto sto problema... Quella che stai descrivendo è la dimostrazione del fatto che "a≤b e b
Sì, certo. Volevo solo capire se spiegata in quel modo potesse comunque valere. Perché non mi sembrava di compiere errori nella logica del discorso. Era solo una curiosità aggiuntiva per formalizzare il pensiero.
Alla fine $a<=b$ vuol dire $a

Va bene, ma non serve, perché di solito è una cosa che si dimostra per esercizio quando si introducono gli assiomi d'ordine del campo reale; quindi più avanti la si dà per assodata, non è che si torna a dimostrarala ogni volta che ce la si trova tra i piedi.

"limitato":

Per quanto riguarda il resto, se mettessi ε≥0 le uniche funzioni ad avere limite (ed essere continue) sarebbero le applicazioni costanti. Perché?

Non lo so . Nel senso che non avrei risposto così.

In questo caso (del per ogni $epsilon>=0$) mi sembrava che le due definizioni che si erano dimostrare uguali, ossia quella che usava $|f(x)−c|≤ε$ e quella che usava $|f(x)−c|<ε$ non sono più per nulla interscambiabili.

avrei infatti:
- per il primo dei due, che dovendo valere la definizione di limite: per ogni $epsilon>=0$, allora vale nello specifico anche per $epsilon=0$, per esso trovo il delta ecc ecc. tale per cui: $|f(x)−c|≤0$. ora: un valore assoluto non è mai minore di zero, quindi $|f(x)−c|=0$ e quindi f(x)=c in quel punto.
Però non capisco perché debba essere costante, dato che questa definizione di limite potrebbe, preso un secondo punto, portarci a $|f(x)−b|=0$ => f(x)=b in questo secondo punto.

- per il secondo caso $epsilon>=0$, allora vale nello specifico anche per $epsilon=0$, per esso trovo il delta ecc ecc tale per cui: $|f(x)−c|<0$. Falso! Questa definizione non va mai bene. Nessuna funzione ammetterebbe limite.

Perché non va bene?

Chiaramente se lasci $|f(x) - c| < epsilon$, quando richiedi $AA epsilon >= 0$ la definizione rimane vuota: non c'è alcuna funzione che la soddisfa... Ed ovviamente non mi riferivo a questo caso, bensì alla versione "modificata" con $|f(x) - c| <= epsilon$. In questo caso, le uniche funzioni a soddisfare la definizione di limite $lim_(x->x_0) f(x) = c$ sarebbero quelle definitivamente costanti intorno ad $x_0$: infatti, scrivendo la definizione per $epsilon = 0$ troveresti che esiste un $delta > 0$ tale che:

$AA x in ]x_0 - delta, x_0 + delta[ nn X \setminus \{ x_0\},\ |f(x) - c| <= 0$

da cui si deduce che $f$ è costante (ed identicamente uguale a $c$) nella parte del dominio $]x_0 - delta, x_0 + delta[ nn X \setminus \{ x_0\}$.

[limitato]

Va bene, ma non serve, perché di solito è una cosa che si dimostra per esercizio quando si introducono gli assiomi d'ordine del campo reale; quindi più avanti la si dà per assodata, non è che si torna a dimostrarala ogni volta che ce la si trova tra i piedi.

Ah okok, chiarissimo. In realtà non mi era stato mostrato nulla del genere e sono in un periodo in cui voglio cercare di dimostrare tutto dal principio e quindi me l'ero auto-dedotta solo ora. Non che fosse una grande scoperta , però avendo avuto quella intuizione volevo chiedere se fosse per lo meno intelligente.

"gugo82":In questo caso, le uniche funzioni a soddisfare la definizione di limite $lim_(x->x_0) f(x) = c$ sarebbero quelle definitivamente costanti intorno ad $x_0$: infatti, scrivendo la definizione per $epsilon = 0$ troveresti che esiste un $delta > 0$ tale che:

$AA x in ]x_0 - delta, x_0 + delta[ nn X \setminus \{ x_0\},\ |f(x) - c| <= 0$

da cui si deduce che $f$ è costante (ed identicamente uguale a $c$) nella parte del dominio $]x_0 - delta, x_0 + delta[ nn X \setminus \{ x_0\}$.

perfetto ora ho capito. Pensavo intendessi le costanti su tutto $RR$ e non mi ci ritrovavo. Invece ovviamente mi suggerivi una costanza nell'intorno delle $x_0$ in cui ho trovato il raggio $delta$ utile allo scopo. Ok, mi pare di esserci ora perché hai scritto in modo ordinato quello che dicevo io, e il punto che mi era inizialmente sfuggito.


Giusto per ricapitolare i miei sciocchi dubbi e tirare le somme:

(voglio dimostrare)
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $
<=>
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <= \epsilon $

=>) ovvia per via del fatto che $<$ è più stringente di $<=$

<=) parto dalla mia ipotesi: $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <=\varepsilon $

e sfrutto ora il fatto che:

$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <=\varepsilon $
<=> (*)
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <=c\varepsilon $, con c costante positiva arbitraria

da cio:

fissato $ε>0$ esiste $δ$ di modo che $|f(x)−l|≤1/2 \varepsilon < epsilon$ q.e.d.

Spero vada bene, vorrei diciamo giustificare ogni singolo passaggio e l'utilizzo dell'epsilon mezzi mi pare funzionare proprio per via della (*) che mi sono auto/dimostrato e non sto qui a postare.


Mi piacerebbe poi chiederti un'ultima cosa su questo argomento dei limiti, cosa che ho letto proprio poco fa in una tua discussione vecchia usando il "cerca", ma non voglio allungare troppo il bordo qui e prima vorrei finire quanto stavamo dicendo

Grazie mille, mi hai insegnato molte cose!

[gugo82]

Sì, ok.



P.S.: Nell'ultima formula c'è $c$ al posto di $l$.

[limitato]

Grazie Grazie Grazie! Sono felicissimo di aver capito grazie ai tuoi spunti. Pensavo che non ne sarei mai uscito te ne sono enormememte riconoscente [saltello sulla sedia].

Correggo subito la svista. Per non ricopiarmi la formula matematica avevo fatto un copia-incolla da sopra ma non mi ero ricordato che nel messaggio prima usai c al posto di l XD. però è chiaro, lascio corretto per i posteri se mai passasse qualcuno in futuro.


Come promesso, per farmi odiare ...
Ovviamente oltre alla teoria sto svolgendo alcuni esercizi e ci sono i classici "verifica con la definizione di limite".

Avevo un dubbio esattamente identico a questo: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=203877 (copio tutto qui così da non doverti far leggere il link)

"bmabs":Più che di un esercizio in sé vorrei capire una cosa riguardo la logica che sottende la verifica del limite tramite la definizione con epsilon e delta vari.

Per la definizione di limite

$AA epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 t.c. \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$

tutto bene, ora mi aspetto di dover sfruttare questo e di solito infatti si parte dalla condizione di aver scelto un epsilon a caso

Imposto la $|f(x)-l|<\epsilon$

e dimostro con vari passaggio che $|x-x_0|
Quello che onn mi convince però è che io parto da: $|f(x)-l|<\epsilon$ però io parto dalla implicazione, cioè quello è il risultato che SE esiste delta allora vale quella disuguaglianza con valore assoluto con il valore del limite. A me sembra che verifico questo fatto:

Se e esiste epsilon che verifica questo: $|f(x)-l|<\epsilon$ ALLORA esiste il delta. Ma non è mica vero che se A=>B per essere vera non devo verificare B (nel nostro caso $|f(x)-l|<\epsilon$) => A (nel nostro caso A è: che esiste delta)

Non so se sono riuscito a spiegarmi molto nel caso provo a riscrivere con altre parole.

alché mi sono letto tutta quella discussione e sono arrivato alla tua risposta a pg2:

"gugo82":Sbagli ad interpretare le implicazioni.

Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.
Ne viene che, per ogni sottoinsieme $X sube text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non vuoto, vale l’implicazione $x in X => |f(x) - l| < epsilon $ (ma, in generale, non vale il v.v.).
Conseguentemente, se in $S_(l,epsilon)$ riesci ad isolare un opportuno intorno forato $I_(x_0, delta)^’ := ]x_0-delta , x_0+ delta[\setminus \{x_0\}$ di $x_0$, hai certamente $x in text(Dom)(f) nn I_(x_0,delta)^’ => |f(x) - l| |f(x) - l| < epsilon$.

Dunque, nei casi elementari, per vedere se un certo $l$ soddisfa la definizione di limite si risolve la disequazione parametrica $|f(x) - l| < epsilon$ (almeno per valori “piccoli” del parametro) e si cerca di isolare un intorno forato di $x_0$ nell’insieme delle soluzioni.

leggendo la tua risposta mi è chiaro quello che si sta facendo: si assume un epsilon a piacere e si determina l'insieme di soluzioni $S_(l,k)$, da qui valendo una biimplicazione $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ diventa una implicazione quando trovo il $delta$ raggio dell'opportuno intorno forato, che essendo un sottoinsieme a quel punto varrà come implicazione "=>".

Tuttavia non capisco e continua a rimanermi in testa che, vale anche questa lettura:
1) assumo epsilon arbitrario
2) imposto $|f(x)-l|<\epsilon$
3) trovo di conseguenza $ |x-x_0|3)

E letta in questo modo dice: parto da $epsilon$ e $|f(x)-l|<\epsilon$ => trovo $delta$ e l'implicazione è a tutti gli effetti opposta a quella che dice la definizione di limite. Ma dato che può essere letta in modo corretto anche nel modo in cui scrivevi tu (e lo capisco) allora vale anche il contrario? In sostanza il mio dubbio è che non riesco a capire perché questa mia lettura sia sbagliata a me sembra lecito interpretarla anche in questo modo. Come faccio invece a capire che è errata?

Lo vorrei capire per non ripetere l'errore in futuro, cioè capire perché non va bene.

[limitato]

Volevo provare a fare un up, mi sarebbe tanto piaciuto chiederti questo (sopra), se mai avrai tempo (e voglia) di leggere ovviamente .

[gugo82]

Fai un esempio e renditi conto che non è sempre vero.

[limitato]

Però anche se trovassi un controesempio. Il mi oproblema è che non capisco perché quello che si sta facendo non sia questo: parto da ε e |f(x)−l|<ε => trovo δ e l'implicazione è a tutti gli effetti opposta a quella che dice la definizione di limite.

A conti fatti è vero: io sono partito da epsilon che imposto e da quello trovo delta (quindi ho una implica =>), però è opposta a quella utile nella definizione di limite. Diciamo che il mio problema è proprio nella lettura dell'implicazione. Domanda scema lo so, ma mi caratterizza: non sono molto intelligente[nota]come mi facevi notare di la, e hai ragionissma[/nota] e voglio rimediare e imparare a ragionare meglio.

[gugo82]

Che c'entra l'intelligenza? Farsi domande, anche sceme, è un segno di intelligenza.

Il punto è che ti ostini in ragionamenti "campati in aria", senza mettere le mani negli esempi concreti.
Prova a fare un esempio, dei conti precisi.

Per esempio, fammi vedere come funziona il tuo ragionamento per la dimostrazione di $lim_(x -> 1) |x| = 1$.
Insomma, è vero o no che $| |x| - 1| < varepsilon => |x - 1| < delta$?

[limitato]

In questo caso dovrei avere per:

$x>0$ $|x-1|
e per

$x<0$ $|-x-1|
quindi prendendo il I dei due ho: $|x-1|
Quello che mi incasina è che da: $ | |x| - 1| < varepsilon$ (o qualunque altro caso simile) noi deduciamo una delta t.c. $|x - 1| < delta $

E quel deduciamo lo interpreto come "implica": se ho un epsilon => trovo un delta (devo sbagliare nel vedere una implicazione in questa "deduzione")

fissato un espilon => trovo un insieme soluzione => da questo trovo un intorno forato => da questo ho il delta

[gugo82]

Il tuo problema è che non concludi il ragionamento.
Non hai scritto le soluzioni di $| |x| - 1| < varepsilon$ e pretendi di discettare su un insieme che ancora non conosci.

[limitato]

Forse ho individuato una parte dell'errore con un esempio scemo. Però credo fosse più un errore di logica:
quello che facevo era asserire che se prendo un maschio e vedo che quel maschio è un padre, allora deducevo che: se maschio => padre. cosa totalmente errata, e credo il mio errore fosse un po' quello, difatti:

Ciò che mi incasina è che da: ||x|−1|<ɛ (o qualunque altro caso simile) noi deduciamo una delta t.c. |x−1|<δ

E quel deduciamo lo interpreto come "implica": se ho un epsilon => trovo un delta

mi sembra molto simile come errore. Ma forse sto prendendo una cantonata.

Detto questo, mi sembra che tu mi stia indicando un'altra strada, però non ho capito perché risolverebbe il dubbio. vediamo:

Ho le soluzioni:
# ($x>=1$ unita $x<=-1$) da intersecarsi con ($x-epsilon-1$)
# ($0<=x<1$ unita $-1epsilon-1$ unita $x<1-epsilon$)

ho fatto di notte fonda quindi sicuro avrò cannato qualcosa però mi sembra giusto come idea... ho semplicemente tolto i moduli uno dentro l'altro con i vari sottocasi.

[gugo82]

"limitato":Forse ho individuato una parte dell'errore con un esempio scemo. Però credo fosse più un errore di logica:
quello che facevo era asserire che se prendo un maschio e vedo che quel maschio è un padre, allora deducevo che: se maschio => padre. cosa totalmente errata, e credo il mio errore fosse un po' quello, difatti:

Ciò che mi incasina è che da: ||x|−1|<ɛ (o qualunque altro caso simile) noi deduciamo una delta t.c. |x−1|<δ

E quel deduciamo lo interpreto come "implica": se ho un epsilon => trovo un delta

mi sembra molto simile come errore.

Sì, l’errore è proprio quello.

"limitato":Detto questo, mi sembra che tu mi stia indicando un'altra strada, però non ho capito perché risolverebbe il dubbio. vediamo:

Ho le soluzioni:
# ($x>=1$ unita $x<=-1$) da intersecarsi con ($x-epsilon-1$)
# ($0<=x<1$ unita $-1epsilon-1$ unita $x<1-epsilon$)

ho fatto di notte fonda quindi sicuro avrò cannato qualcosa però mi sembra giusto come idea... ho semplicemente tolto i moduli uno dentro l'altro con i vari sottocasi.

L’insieme delle soluzioni di $| |x| - 1| < varepsilon$ (almeno per $varepsilon < 1$) è $S = ]-1-varepsilon , -1 + varepsilon[ uu ]1 - varepsilon, 1 + varepsilon[$; quindi, prendendo $delta = varepsilon$, è certamente vero che $|x - 1| < delta => x in S$, ma non è affatto vero che $x in S => | x - 1| < delta$.

[limitato]

Solo per ringraziarti molto. Per avermi portato ancora una volta a comprensione!

buona giornata e grazie.