Sulla definizione di limite
Mi chiedo: quali ragionamenti ha fatto Weierstrass (o qualcun'altro) per arrivare alla "cervellotica" definizione epsilon-delta?
Di sicuro non si è svegliato un giorno e si è messo a scrivere quella roba.
Io ho pensato questo:
Supponiamo di avere una funzione di due variabili a valori reali, avente un certo dominio. Prendiamo un punto che sia di accumulazione per il dominio in modo che abbia senso far tendere le variabili indipendenti a tale punto. Supponiamo ora che al tendere IN OGNI MODO POSSIBILE delle variabili indipendenti a tale punto (lungo ogni direzione), le uscite della funzione si avvicinano sempre di più ad un certo valore $l$. E' naturale dire che questo valore è il limite della funzione per le variabili indipendenti che tendono a tale punto.
Supponendo vero quello che ho scritto, valgono le seguenti affermazioni:
1) l'insieme delle immagini di $f$ che soddisfano la disequazione $|f(x)-l|0$;
2) ognuna di queste immagini che verifica la (1) sarà (ovviamente) generata dall'applicazione della funzione ad una certa $x$;
3) data la disequazione $|f(x)-l|0$ accadrà che l'insieme degli $x$ le cui immagini tramite $f$ soddisfano la (1) avrà un numero infinito di elementi;
4) esisterà sicuramente un valore $e'$ da assegnare alla $e$ tale che l'insieme che ha per elementi gli $x$ le cui immagini soddisfano la disequazione $|f(x)-l|
Con $x_0$ indico un punto in questo caso, solo che non sapevo come scriverlo in grassetto.
Ho detto cavolate? Grazie.
Di sicuro non si è svegliato un giorno e si è messo a scrivere quella roba.
Io ho pensato questo:
Supponiamo di avere una funzione di due variabili a valori reali, avente un certo dominio. Prendiamo un punto che sia di accumulazione per il dominio in modo che abbia senso far tendere le variabili indipendenti a tale punto. Supponiamo ora che al tendere IN OGNI MODO POSSIBILE delle variabili indipendenti a tale punto (lungo ogni direzione), le uscite della funzione si avvicinano sempre di più ad un certo valore $l$. E' naturale dire che questo valore è il limite della funzione per le variabili indipendenti che tendono a tale punto.
Supponendo vero quello che ho scritto, valgono le seguenti affermazioni:
1) l'insieme delle immagini di $f$ che soddisfano la disequazione $|f(x)-l|
2) ognuna di queste immagini che verifica la (1) sarà (ovviamente) generata dall'applicazione della funzione ad una certa $x$;
3) data la disequazione $|f(x)-l|
4) esisterà sicuramente un valore $e'$ da assegnare alla $e$ tale che l'insieme che ha per elementi gli $x$ le cui immagini soddisfano la disequazione $|f(x)-l|
Con $x_0$ indico un punto in questo caso, solo che non sapevo come scriverlo in grassetto.
Ho detto cavolate? Grazie.
Risposte
Riguardati la definizione di limite...
Ho preso un'intorno del limite, ma i punti che lo generano non costituiscono un intorno di $x_0$ (la funzione non è definita in un pezzo).
Se diminuiamo $e$, ci accorgiamo che prima o poi l'intorno del limite sarà generato da punti che formano un intorno di $x_0$. E' questo quello che intendo.
Che cos'è un intorno, lisdap?
"gugo82":
Che cos'è un intorno, lisdap?
E' un qualunque intervallo aperto contenente $x_0$.
L'insieme indicato con la linea ondulata non è un intorno di $x_0$, perché ha un "buco", o no?
Ho capito la definizione di limite. Se una funzione ammette un certo limite, allora sarà vero che la disequazione $|f(x)-L|0$, giusto?
Devi cambiare l'ordine: per ogni $e>0$ esiste un intorno (bucato) di $x_0$ tale che ogni $x$ dell'intorno risolve quella disequazione.
Un intorno di un punto è un qualsiasi aperto (intervallo o no, non ha importanza) che contenga il punto assegnato.
La definizione di limite ti dice che:
\[
\forall J \text{ intorno di } l,\ \exists I \text{ intorno di } x_0:\ \forall x\in I\cap \operatorname{Dom} f \setminus \{x_0\},\ f(x)\in J\; .
\]
Quindi il problema che poni non è relativo agli intorni o alla definizione di limite, ma al fatto che tu (non si sa perchè) vuoi necessariamente che l'intorno \(I\) sia tutto contenuto in \(\operatorname{Dom} f\), cioè vuoi scrivere \(I\setminus \{x_0\}\) al posto di \(I\cap \operatorname{Dom} f\setminus \{x_0\}\)...
Ciò, pur volendo, non si può assicurare nel caso generale.
La definizione di limite ti dice che:
\[
\forall J \text{ intorno di } l,\ \exists I \text{ intorno di } x_0:\ \forall x\in I\cap \operatorname{Dom} f \setminus \{x_0\},\ f(x)\in J\; .
\]
Quindi il problema che poni non è relativo agli intorni o alla definizione di limite, ma al fatto che tu (non si sa perchè) vuoi necessariamente che l'intorno \(I\) sia tutto contenuto in \(\operatorname{Dom} f\), cioè vuoi scrivere \(I\setminus \{x_0\}\) al posto di \(I\cap \operatorname{Dom} f\setminus \{x_0\}\)...
Ciò, pur volendo, non si può assicurare nel caso generale.
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