Sulla definizione di limite

[Sk_Anonymous]

Mi chiedo: quali ragionamenti ha fatto Weierstrass (o qualcun'altro) per arrivare alla "cervellotica" definizione epsilon-delta?
Di sicuro non si è svegliato un giorno e si è messo a scrivere quella roba.
Io ho pensato questo:
Supponiamo di avere una funzione di due variabili a valori reali, avente un certo dominio. Prendiamo un punto che sia di accumulazione per il dominio in modo che abbia senso far tendere le variabili indipendenti a tale punto. Supponiamo ora che al tendere IN OGNI MODO POSSIBILE delle variabili indipendenti a tale punto (lungo ogni direzione), le uscite della funzione si avvicinano sempre di più ad un certo valore $l$. E' naturale dire che questo valore è il limite della funzione per le variabili indipendenti che tendono a tale punto.
Supponendo vero quello che ho scritto, valgono le seguenti affermazioni:
1) l'insieme delle immagini di $f$ che soddisfano la disequazione $|f(x)-l|0$;
2) ognuna di queste immagini che verifica la (1) sarà (ovviamente) generata dall'applicazione della funzione ad una certa $x$;
3) data la disequazione $|f(x)-l|0$ accadrà che l'insieme degli $x$ le cui immagini tramite $f$ soddisfano la (1) avrà un numero infinito di elementi;
4) esisterà sicuramente un valore $e'$ da assegnare alla $e$ tale che l'insieme che ha per elementi gli $x$ le cui immagini soddisfano la disequazione $|f(x)-l| Queste osservazioni conducono alla definizione di limite che tutti conosciamo.
Con $x_0$ indico un punto in questo caso, solo che non sapevo come scriverlo in grassetto.
Ho detto cavolate? Grazie.

[Newton_1372]

si è corretto ma perchè dedicare una pagina intera per una definizione di due righe...?:)

[Sk_Anonymous]

Beh perchè le definizioni tutte simboli non mi piacciono

[psycho92]

prevedo altre 15 pagine di seghe mentali con periodo che tende a 0

[Sk_Anonymous]

Oddio che palle!!!
Psycho, ma perchè non ti fai iniettare nelle vene un bel tranquillante ?

[Newton_1372]

cmq vedo che hai risolto i tuoi dubbi quindi io modestamente andrei... (attendo ancora che tu mi risolva quell'esercizio senza usare le derivate, non te ne sfuggi mica...se vuoi postarci qualcosa usa il post sull'interpretazione delle equazioni fisico-geometriche come funzioni se ovviamente non ci riuscirai, dovrai ammettere che hai torto e che l''analisi matematica serve a qualcosa..

[theras]

Buongiorno ad entrambi!

"lisdap":Beh perchè le definizioni tutte simboli non mi piacciono

Ecco la discussione sui Fondamenti quotidiana:
mi sarei preoccupato a non trovarne una,stamane..
Stavolta però un piccolo intervento lo faccio:
troppo "sacra",la formalizzazione del concetto di limite,per tacere anche ora..
La mia domanda è semplice,Lisdap,anche perchè leggendo i tuoi quesiti e conseguenti interventi m'è spesso sorto un dubbio, più frequentemente degli altri(molti..):
ma il tuo problema col formalismo adottato dagli analisti è di sostanza oppure estetica?
Perchè in quest'ultimo caso ricorda magari che l'estetica è solo l'immagine
(non nel senso del termine dato nelle definizione di Funzione,tranquillo ..)
attraverso la quale la Realtà si ricostruisce nel nostro cervello:
ma non coincide con Essa..
Saluti dal web.

[Sk_Anonymous]

"newton_1372":cmq vedo che hai risolto i tuoi dubbi quindi io modestamente andrei... (attendo ancora che tu mi risolva quell'esercizio senza usare le derivate, non te ne sfuggi mica...se vuoi postarci qualcosa usa il post sull'interpretazione delle equazioni fisico-geometriche come funzioni se ovviamente non ci riuscirai, dovrai ammettere che hai torto e che l''analisi matematica serve a qualcosa..

Ti darò la risposta, non ti preoccupare, devi solo darmi un pò di tempo

[Newton_1372]

sono fermamente convinto che NON ci sia una risposta che non includa le derivate...(e quindi l'analisi), specie per funzioni così complesse. se fosse un grafico "semplice" come una circonferenza di centro noto, o una conica in generale, con un sistema sarebbe facile...cmq accetto la sfida...

[Sk_Anonymous]

"newton_1372":sono fermamente convinto che NON ci sia una risposta che non includa le derivate...(e quindi l'analisi), specie per funzioni così complesse. se fosse un grafico "semplice" come una circonferenza di centro noto, o una conica in generale, con un sistema sarebbe facile...cmq accetto la sfida...

Di sicuro la risposta non sarà immediata, però secondo me un'altra via deve esserci per forza.
E che ci giochiamo? La mia reputazione sul forum?
E se vinco la sfida?

[Newton_1372]

La tua reputazione sul forum con segno opposto...potrai dare una risposta a tutti questi matematiconi qui al forum...inoltre se dimostrerai che il tuo modo di risolvere il problema è più semplice di quello di derivare, bene, credo proprio che ti daranno un milione di dollari...

(per i "matematiconi" moderatori: abbiate un pò di senso dell'umorismo, grazie)

[Sk_Anonymous]

"newton_1372":inoltre se dimostrerai che il tuo modo di risolvere il problema è più semplice di quello di derivare, bene, credo proprio che ti daranno un milione di dollari...

Fantastico, così finalmente avrò i soldi per comprarmi una bella Ferrari

[Sk_Anonymous]

Ritornando alla definizione di limite, praticamente lo spirito è questo.
Se è vero che $lim_(x->x_0) f(x)=L$, allora si verifica che:
- se prendo un intorno del punto $L$ formato dalle immagini che soddisfano la disequazione $|f(x)-L|<5$, tali immagini (in numero infinito) saranno generate da punti che formano un certo insieme, chiamiamolo $A$. Se però includiamo in $A$ anche il punto $x_0$, non è detto che l'insieme $A+x_0$ (scusate il simbolismo errato) è un intorno di $x_0$; tuttavia, sono sicuro che esisterà un valore da assegnare ad $e$, $3$ ad esempio, per il quale le immagini che soddisfano la disequazione $|f(x)-L|<3$ sono generate dall'applicazione di $f$ a punti che, se raccolti (aggiungendo anche $x_0$) in un certo insieme $B$, si avrà che $B$ è un intorno di $x_0$. Spero di non essere stato troppo confusionario.
Grazie.

[gugo82]

Speri male.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Speri male.

Supponiamo che sia vero che che $lim_(x->x_0) f(x)=L$ e consideriamo l'insieme delle immagini di $f$ che soddisfa la disequazione $|f(x)-L| Lo spirito della definizione di limite è questo.
Se per esempio assegnamo ad $e$ il valore $5$, otteniamo la disequazione $|f(x)-L|<5$ (2), disequazione nell'incognita $f(x)$ ti trovi?
Ci saranno infinite immagini che vanno a risolvere la (2). Consideriamo quindi l'insieme $A$ dei punti i quali (tramite l'applicazione di $f$ ad essi) generano queste immagini. Aggiungiamo poi all'insieme $A$ il punto $x_0$, ottenendo l'insieme $A U {x_0}$. Può capitare (ma in generale dipende dalla funzione) che quest'ultimo insieme non sia un intorno di $x_0$.
Tuttavia, riducendo poco a poco il valore della $e$, sono sicuro che prima o poi beccherò un valore $e'$ per il quale si verifica che le soluzioni della disequazione $|f(x)-L|

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[gugo82]

"lisdap":[quote="gugo82"]Speri male.

Supponiamo che sia vero che che $lim_(x->x_0) f(x)=L$ e consideriamo l'insieme delle immagini di $f$ che soddisfa la disequazione $|f(x)-L| Lo spirito della definizione di limite è questo.
Se per esempio assegnamo ad $e$ il valore $5$, otteniamo la disequazione $|f(x)-L|<5$ (2), disequazione nell'incognita $f(x)$ ti trovi?[/quote]
No.
L'incognita è \(x\).

"lisdap":Ci saranno infinite immagini che vanno a risolvere la (2).

Falso, in generale.

Prendi una funzione costante, ad esempio.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":
No.
L'incognita è \(x\).

Sostituisci a $f(x)$ una lettera a caso, $k$ ad esempio, e considerala un'incognita.

"gugo82":
Falso, in generale.

Prendi una funzione costante, ad esempio.

Ok, escludiamo allora il caso della funzione costante.
Ho corretto il discorso

Supponiamo che sia vero che che $lim_(x->x_0) f(x)=L$ e consideriamo l'insieme delle immagini di $f$ che soddisfa la disequazione $|k-L| Lo spirito della definizione di limite è questo.
Se per esempio assegniamo ad $e$ il valore $5$, otteniamo la disequazione $|k-L|<5$ (2), disequazione nell'incognita $k$.
Ci saranno infinite immagini che vanno a risolvere la (2) (supponendo che $f$ non sia una funzione costante). Consideriamo quindi l'insieme $A$ dei punti i quali (tramite l'applicazione di $f$ ad essi) generano queste immagini. Aggiungiamo poi all'insieme $A$ il punto $x_0$, ottenendo l'insieme $A U {x_0}$. Può capitare (ma in generale dipende dalla funzione) che quest'ultimo insieme non sia un intorno di $x_0$.
Tuttavia, riducendo poco a poco il valore della $e$, sono sicuro che prima o poi beccherò un valore $e'$ per il quale si verifica che le soluzioni della disequazione $|k-L|
Ci sono degli errori dentro o qualcosa di poco chiaro?
Grazie.

[gugo82]

"lisdap":[quote="gugo82"]
No.
L'incognita è \(x\).

Sostituisci a $f(x)$ una lettera a caso, $k$ ad esempio, e considerala un'incognita.[/quote]
E certo, così cambiamo problema...

La definizione di limite ti dice che \(L=\lim_{x\to x_0} f(x)\) solo se per ogni intorno di \(L\) riesci a determinare un intorno forato di \(x_0\) nei cui punti la \(f\) assume valori che stanno tutti nell'intorno scelto di \(L\).
Quindi il problema è determinare le \(x\).

"lisdap":[quote="gugo82"]
Falso, in generale.

Prendi una funzione costante, ad esempio.

Ok, escludiamo allora il caso della funzione costante.[/quote]
E come la mettiamo con le funzioni costanti a tratti?

[Sk_Anonymous]

Ma ci sono vicino secondo te? Devo ancora generalizzare un pò di più o quello che ho scritto è totalmente da buttare?
Rivedi l'ultimo post, ho modificato.
Grazie.

[gugo82]

"lisdap":Supponiamo che sia vero che che $lim_(x->x_0) f(x)=L$ e consideriamo l'insieme delle immagini di $f$ che soddisfa la disequazione $|k-L| Lo spirito della definizione di limite è questo.
Se per esempio assegniamo ad $e$ il valore $5$, otteniamo la disequazione $|k-L|<5$ (2), disequazione nell'incognita $k$.
Ci saranno infinite immagini che vanno a risolvere la (2) (supponendo che $f$ non sia una funzione costante). Consideriamo quindi l'insieme $A$ dei punti i quali (tramite l'applicazione di $f$ ad essi) generano queste immagini. Aggiungiamo poi all'insieme $A$ il punto $x_0$, ottenendo l'insieme $A U {x_0}$. Può capitare (ma in generale dipende dalla funzione) che quest'ultimo insieme non sia un intorno di $x_0$.

Questo capita solo se \(L\neq \lim_{x\to x_0} f(x)\). Perché?

[Sk_Anonymous]

Non può capitare anche se il limite è corretto, però il valore della epsilon che è stato scelto è troppo grande e quindi l'insieme $A uu {x_0}$ non è un intorno di $x_0$?