Sulla definizione dei coefficienti di Fourier per f di periodo 2$\pi$ e T
ciao 
http://areeweb.polito.it/didattica/poly ... ap.7-9.pdf
dopo aver letto questa dispensa a riguardo, espongo un paio di dubbi..
1. essenzialmente, perchè i coefficienti del polinomio di Fourier sono cosi definiti? (purtroppo la dim non era in programma)
che cosa rappresentano?
2. cosa si intende, grosso modo, affermando che i coefficienti esprimono il “grado di somiglianza” tra la funzione f con le funzioni cos kx e sin kx rispettivamente? Il prodotto di due f "simili" integrato su un intervallo simmetrico rispetto all'origine ha qualche particolarità?
vi ringrazio
http://areeweb.polito.it/didattica/poly ... ap.7-9.pdf
dopo aver letto questa dispensa a riguardo, espongo un paio di dubbi..
1. essenzialmente, perchè i coefficienti del polinomio di Fourier sono cosi definiti? (purtroppo la dim non era in programma)
che cosa rappresentano?
2. cosa si intende, grosso modo, affermando che i coefficienti esprimono il “grado di somiglianza” tra la funzione f con le funzioni cos kx e sin kx rispettivamente? Il prodotto di due f "simili" integrato su un intervallo simmetrico rispetto all'origine ha qualche particolarità?
vi ringrazio
Risposte
Nessuno?
Non pretendo di dare una risposta esauriente, completa e rigorosa alle tue domande; prendila come una chiacchierata.
*Premetto alcune considerazioni generali :
-Considera lo spazio vettoriale $V$ costituito dalle funzioni $f : [0,2pi] rarr RR $ integrabili e munite del prodotto scalare : $< f,g> =int_0^(2pi) f(t)*g(t)dt$ ; questo prodotto è una estensione del prodotto scalare di due vettori $bar u, bar v $ ( che vale $sum_1^n u_i*v_i $) al caso in cui i “ 2 vettori “ siano due funzioni ; la sommatoria di $n $ termini ( se siamo in $RR^n$) diventa una sommatoria di infiniti termini , quindi un integrale.
- Le funzioni $ 1/sqrt(2pi) , cos(kx)/sqrt(pi) , sin(kx)/sqrt(pi) ; k=1,2,…$ costituiscono un sistema ortonormale nello spazio vettoriale $V$ in quanto questi “ vettori “ sono a 2 a 2 ortogonali e di modulo unitario.
Se è vero che sono ortogonali allora il loro prodotto scalare deve essere nullo .Infatti si ha :
$int_0^(2pi)sinkx*sinhx dx=int_0^(2pi)coskx*sinhxdx =0 ; h ne k $
$int_0^(2pi) sinkx *coshx dx= int_0^(2pi) sinkx = int_0^(2pi) coshx dx=0 $
La serie di Fourier non fa altro che approssimare la $f(x)$ ( pensa sia un vettore ) proiettandola sul Sistema ortonormale detto prima formato dalle funzioni ( vettori) $sin(kx)/sqrt(pi) ; cos(kx)/sqrt(pi)$.
-Data una qualsiasi funzione $f in V $ , il polinomio trigonometrico di grado $<=n $ che meglio approssima $f$ , è la proiezione $S_n f $ di $f $ su $V_n $ , cioè a dire :
$S_n f = sum_(i=0)^(2n) < f,e_i>*e_1 $ essendo $e_i$ i vettori della base di $V_n $ , cioè i vettori $sin(kx)/sqrt(pi),cos(kx)/sqrt(pi) $che come si è visto sono vettori ortogonali tra loro e normali cioè di modulo unitario e quindi adatti ad essere usati come sistema di riferimento su cui proiettare la funzione $f$
Esplicitamente :
$S_n f(x)= (int_0^(2pi)1/sqrt(2pi) *f(t)dt ) 1/sqrt(2pi) +sum_1^n [(int_0^(2pi)cos(kt)/sqrt(pi) *f(t)dt))cos(kx)/sqrt(pi) +( int_0^(2pi) sin(kt)/sqrt(pi) f(t)dt)*sin(kx)/sqrt(pi)] = ½ a_0 +sum_(k=1)^n(a_kcoskx+b_ksinkx)$
essendo:
$ a_k= 1/(pi)int_0^(2pi)f(t)cosktdt; (k=0,1,2,…) $prodotti scalari tra $f(t) $ e $cos(kt) $
$b_k= 1/(pi) int_0^(2pi) f(t) sinkt dt ; k=0,1,2 .. $ prodotti scalari tgra $f(t)$ e $sinkt$.
I coefficienti $a_k, b_k $ sono i coefficienti di Fourier di $f $ .
Il polinomio trigonometrico $S_n f $ si dice n-esima somma di Fourier e la serie trigonometrica
$1/2 a_0 +sum_(k=1)^(oo) (a_k coskx+b_k sin kx )$ si dice serie di Fourier.
*Premetto alcune considerazioni generali :
-Considera lo spazio vettoriale $V$ costituito dalle funzioni $f : [0,2pi] rarr RR $ integrabili e munite del prodotto scalare : $< f,g> =int_0^(2pi) f(t)*g(t)dt$ ; questo prodotto è una estensione del prodotto scalare di due vettori $bar u, bar v $ ( che vale $sum_1^n u_i*v_i $) al caso in cui i “ 2 vettori “ siano due funzioni ; la sommatoria di $n $ termini ( se siamo in $RR^n$) diventa una sommatoria di infiniti termini , quindi un integrale.
- Le funzioni $ 1/sqrt(2pi) , cos(kx)/sqrt(pi) , sin(kx)/sqrt(pi) ; k=1,2,…$ costituiscono un sistema ortonormale nello spazio vettoriale $V$ in quanto questi “ vettori “ sono a 2 a 2 ortogonali e di modulo unitario.
Se è vero che sono ortogonali allora il loro prodotto scalare deve essere nullo .Infatti si ha :
$int_0^(2pi)sinkx*sinhx dx=int_0^(2pi)coskx*sinhxdx =0 ; h ne k $
$int_0^(2pi) sinkx *coshx dx= int_0^(2pi) sinkx = int_0^(2pi) coshx dx=0 $
La serie di Fourier non fa altro che approssimare la $f(x)$ ( pensa sia un vettore ) proiettandola sul Sistema ortonormale detto prima formato dalle funzioni ( vettori) $sin(kx)/sqrt(pi) ; cos(kx)/sqrt(pi)$.
-Data una qualsiasi funzione $f in V $ , il polinomio trigonometrico di grado $<=n $ che meglio approssima $f$ , è la proiezione $S_n f $ di $f $ su $V_n $ , cioè a dire :
$S_n f = sum_(i=0)^(2n) < f,e_i>*e_1 $ essendo $e_i$ i vettori della base di $V_n $ , cioè i vettori $sin(kx)/sqrt(pi),cos(kx)/sqrt(pi) $che come si è visto sono vettori ortogonali tra loro e normali cioè di modulo unitario e quindi adatti ad essere usati come sistema di riferimento su cui proiettare la funzione $f$
Esplicitamente :
$S_n f(x)= (int_0^(2pi)1/sqrt(2pi) *f(t)dt ) 1/sqrt(2pi) +sum_1^n [(int_0^(2pi)cos(kt)/sqrt(pi) *f(t)dt))cos(kx)/sqrt(pi) +( int_0^(2pi) sin(kt)/sqrt(pi) f(t)dt)*sin(kx)/sqrt(pi)] = ½ a_0 +sum_(k=1)^n(a_kcoskx+b_ksinkx)$
essendo:
$ a_k= 1/(pi)int_0^(2pi)f(t)cosktdt; (k=0,1,2,…) $prodotti scalari tra $f(t) $ e $cos(kt) $
$b_k= 1/(pi) int_0^(2pi) f(t) sinkt dt ; k=0,1,2 .. $ prodotti scalari tgra $f(t)$ e $sinkt$.
I coefficienti $a_k, b_k $ sono i coefficienti di Fourier di $f $ .
Il polinomio trigonometrico $S_n f $ si dice n-esima somma di Fourier e la serie trigonometrica
$1/2 a_0 +sum_(k=1)^(oo) (a_k coskx+b_k sin kx )$ si dice serie di Fourier.
grazie Camillo, ora mi è chiara anche l'origine del polinomio trigonometrico di Fourier, donde i coefficienti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo