Sulla convergenza uniforme

[qwertyuio1]

Ciao a tutti. So che la convergenza uniforme di una successione di funzioni non implica la convergenza della successione delle derivate.
Mi sapreste dare un controesempio?

[j18eos]

Se la memoria non m'inganna, dovrebbe essere [tex]$\bigg\{f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}\bigg\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex] una successione di funzioni uniformemente convergente a [tex]$|\cdot|$[/tex], la cui successione delle derivate converge a [tex]$\mathrm{signus}(\cdot)$[/tex] ma non è derivabile puntualmente.

[qwertyuio1]

Ma se non sbaglio $f'_n(x)=x/sqrt(x^2+1/n)$ converge a $x/|x|=sign(x)$.

[qwertyuio1]

In effetti però $f=| . |$ non è $C^1$. Dunque la successione delle $f_n$ mi da un buon controesempio perché converge uniformemente ma il limite non è derivabile.
Grazie j18eos

[j18eos]

In fin dei conti (letteralmente) la successione delle derivate converge puntualmente ma non uniformemente, quindi la successione non è derivabile termine a termine; basti notare che: [tex]$D\bigg(\lim_{x\to0}\lim_nf_n(x)\bigg)=0\neq\not\exists=\lim_{x\to0}\lim_nD(f_n)(x)$[/tex].

Prego, di nulla!

[Rigel1]

Puoi anche prendere $f_n(x) = \frac{sin(n^2 x)}{n}$; la successione converge uniformemente alla funzione nulla, ma la successione delle derivate non converge nemmeno puntualmente.

[j18eos]

@Rigel Lo dico sempre che le serie di funzioni sono un pozzo senza fondo da cui attingere esempi e controesempi pazzeschi!