Sulla chiusura
Ho un esercizio facile che però non riesco a risolvere interamente. Il testo è (semplicemente) il seguente:
Sul fatto che sia limitato non ci piove. Basta fare un disegnino e quindi mostrare che tutti i punti di quell'insieme stanno all'interno di una circonferenza (palla bidimensionale) di raggio a piacere.
Ma circa la chiusura? Intuitivamente mi verrebbe da dire che è chiuso perché contiene la sua frontiera che, sempre intuitivamente, dovrebbe essere \[\displaystyle \partial K = \{(x,y) \in \mathbb{R^{2}} : x^{4} + y^{4} - x^{2} + y^{2}=1 \} \]
Ma come provarlo formalmente?
Stabilire se il sottoinsieme \(\displaystyle K \subset \mathbb{R^{2}} \) è chiuso e limitato.
\[\displaystyle K = \{(x,y) \in \mathbb{R^{2}} : x^{4} + y^{4} -x^{2} +y^{2} \le 1 \} \]
Sul fatto che sia limitato non ci piove. Basta fare un disegnino e quindi mostrare che tutti i punti di quell'insieme stanno all'interno di una circonferenza (palla bidimensionale) di raggio a piacere.
Ma circa la chiusura? Intuitivamente mi verrebbe da dire che è chiuso perché contiene la sua frontiera che, sempre intuitivamente, dovrebbe essere \[\displaystyle \partial K = \{(x,y) \in \mathbb{R^{2}} : x^{4} + y^{4} - x^{2} + y^{2}=1 \} \]
Ma come provarlo formalmente?
Risposte
Se un insieme contiene la sua frontiera è chiuso, questa è una proposizione nota, quindi penso ti basti dimostrare che contiene la frontiera ossia i suoi punti di accumulazione e i suoi punti isolati 
Se definisci \(f(x,y) := x^4+y^4-x^2+y^2\), puoi osservare che \(K\) è la controimmagine dell'insieme chiuso \(C:=(-\infty, 1]\) attraverso \(f\). Poiché \(f\) è continua,...
"Rigel":
Se definisci \(f(x,y) := x^4+y^4-x^2+y^2\), puoi osservare che \(K\) è la controimmagine dell'insieme chiuso \(C:=(-\infty, 1]\) attraverso \(f\). Poiché \(f\) è continua,...
Caratterizzazione topologica della continuità. Mannaggia a me e alla mia zucca vuota!
Grazie ad entrambi!
Avrei un'altra perplessità da sottoporvi.
Senza derivate parziali stavo cercando di capire se l'insieme \[\displaystyle H= \{ (x,y) \in \mathbb{R^{2}} : -1 \le x^{3} + xy + y^{3} \le 1 \} \]
fosse limitato, e chiuso.
Mi sono fatto due conti e un disegno (mi è sembrata la via più piana da seguirsi) ed ho concluso che l'insieme è limitato. Tuttavia dalla rappresentazione che fornisce WolframAlpha, di cui mi sono servito per un controllo, risultano due "spuntoni" diagonali che non sono riuscito a rilevare mediante lo studio grafico.
C'è una maniera diversa per studiare la limitatezza di insiemi come questi oppure bisogna avere soltanto un po' di intuizione grafica? Quanto alla chiusura? Cosa si può dire?
Senza derivate parziali stavo cercando di capire se l'insieme \[\displaystyle H= \{ (x,y) \in \mathbb{R^{2}} : -1 \le x^{3} + xy + y^{3} \le 1 \} \]
fosse limitato, e chiuso.
Mi sono fatto due conti e un disegno (mi è sembrata la via più piana da seguirsi) ed ho concluso che l'insieme è limitato. Tuttavia dalla rappresentazione che fornisce WolframAlpha, di cui mi sono servito per un controllo, risultano due "spuntoni" diagonali che non sono riuscito a rilevare mediante lo studio grafico.
C'è una maniera diversa per studiare la limitatezza di insiemi come questi oppure bisogna avere soltanto un po' di intuizione grafica? Quanto alla chiusura? Cosa si può dire?
Sono curioso... Come hai disegnato $H$?
Sono andato un po' a occhio, cercando di capire quali fossero le limitazioni laterali, superiori ed inferiori (e mi è risultata appunto una pseudo-ellisse privata però di quei due bracci diagonali).
Ma questo impreciso metodo ha degli evidenti limiti, il primo dei quali è appunto l'imprecisione dello stesso.
Hai qualche suggerimento da darmi in merito, Seneca?
Ma questo impreciso metodo ha degli evidenti limiti, il primo dei quali è appunto l'imprecisione dello stesso.
Hai qualche suggerimento da darmi in merito, Seneca?
Se consideri la funzione \(f(x,y) = x^3+xy+y^3\), vedi che per ogni \(x\in\mathbb{R}\) fissato hai che \(\lim_{y\to\pm\infty} f(x,y) = \pm\infty\), dunque esiste (almeno) un valore \(y=y(x)\) t.c. \(f(x, y(x)) = 0\).
Di conseguenza l'insieme non può essere limitato, visto che tutti i punti del tipo \((x, y(x))\), \(x\in\mathbb{R}\), stanno in \(H\).
Di conseguenza l'insieme non può essere limitato, visto che tutti i punti del tipo \((x, y(x))\), \(x\in\mathbb{R}\), stanno in \(H\).
Di nuovo mi trai d'impaccio. Ragionamento impeccabile, grazie mille.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo