Sul wronskiano.
Sia data l'equazione differenziale:
$y' + a(x) * y = 0$.
Volevo sapere perchè il wronskiano di $n$ integrali dell' equazione sia a sua volta un'integrale dell'equazione, cioè perchè
$w'(x) +a(x)* w(x) = 0$, dove $w(x)$ è proprio la funzione wronskiano, che come si sa, è di classe $C^1$ in un opportuno intervallo $I$.
E' un meccanismo che mi sfugge, anche se dovrebbe essere molto semplice.
P.S.- Provo a postare il mio ragionamento. Il determinante di una matrice quadrata è definito "empiricamente" (che cosa voglia dire spero lo capiate) come la somma di vari prodotti. Ogni addendo è infatti il prodotto del complemento algebrico di ogni elemento di una riga o colonna della matrice per l'elemento stesso della riga o colonna scelta. Se scelgo la prima riga della matrice di cui il wronskiano è il determinante, allora ottengo una somma di prodotti di scalari per integrali dell'equazione differenziale omogenea. Siccome le soluzioni di una tale equazione costituiscono un sottospazio vettoriale, allora la somma dei prodotti di scalari (i complementi algebrici sulla prima riga) per gli elementi della prima riga (gli n integrali dell'equazione), ossia proprio il wronskiano, faccia parte di quel sottospazio, quindi sia una soluzione dell'equazione.
$y' + a(x) * y = 0$.
Volevo sapere perchè il wronskiano di $n$ integrali dell' equazione sia a sua volta un'integrale dell'equazione, cioè perchè
$w'(x) +a(x)* w(x) = 0$, dove $w(x)$ è proprio la funzione wronskiano, che come si sa, è di classe $C^1$ in un opportuno intervallo $I$.
E' un meccanismo che mi sfugge, anche se dovrebbe essere molto semplice.
P.S.- Provo a postare il mio ragionamento. Il determinante di una matrice quadrata è definito "empiricamente" (che cosa voglia dire spero lo capiate) come la somma di vari prodotti. Ogni addendo è infatti il prodotto del complemento algebrico di ogni elemento di una riga o colonna della matrice per l'elemento stesso della riga o colonna scelta. Se scelgo la prima riga della matrice di cui il wronskiano è il determinante, allora ottengo una somma di prodotti di scalari per integrali dell'equazione differenziale omogenea. Siccome le soluzioni di una tale equazione costituiscono un sottospazio vettoriale, allora la somma dei prodotti di scalari (i complementi algebrici sulla prima riga) per gli elementi della prima riga (gli n integrali dell'equazione), ossia proprio il wronskiano, faccia parte di quel sottospazio, quindi sia una soluzione dell'equazione.
Risposte
Innanzitutto, per equazioni del primo ordine la cosa è banale giacché lo spazio delle soluzioni ha dimensione $1$, quindi puoi trovare un unico integrale indipendente $y_1(x)$ ed il wronskiano diventa $W(x)=y_1(x)$.
Facciamo il caso di un'equazione d'ordine $2$, cosicché hai due integrali indipendenti $y_1(x),y_2(x)$ (il caso generale viene analogamente ma con più complicazioni formali): se la nostra equazione è:
(*) $y''+a_1*y'+a_0*y=0 \quad$ (nel caso generale $y^((n))+\sum_(k=0)^(n-1) a_k*y^((k))=0$)
allora dobbiamo provare che l'equazione che soddisfa il wronskiano è:
(W) $W'+a_1*W=0 \quad$ (nel caso generale $W'+a_(n-1)*W=0$).
Innanzitutto è $W(x):=|(y_1(x),y_2(x)),(y_1'(x),y_2'(x))| =y_1(x)*y_2'(x)-y_2(x)*y_1'(x)$, quindi derivando si ottiene:
$W'=y_1'*y_2' +y_1*y_2''-y_2'*y_1'-y_2*y_1''=y_1*y_2''-y_2*y_1''$
ossia:
$W'(x):=|(y_1(x),y_2(x)),(y_1''(x),y_2''(x))| \quad$;
in generale, per un wronskiano d'ordine $n$, vale la seguente regola di derivazione: $W'$ è il determinante che si ottiene da $W$ sostituendo le derivate $(n-1)$-esime $y_1^((n-1)),\ldots ,y_n^((n-1))$ (presenti nell'ultima riga di $W$) con le derivate $n$-esime $y_1^((n)),\ldots ,y_n^((n))$, cioè:
$W=|(y_1,y_2,\ldots ,y_n),(\vdots, \vdots ,\ddots, \vdots),(y_1^((n-2)),y_2^((n-2)), \ldots ,y_n^((n-2))),(y_1^((n-1)),y_2^((n-1)), \ldots ,y_n^((n-1)))| => W'=|(y_1,y_2,\ldots ,y_n),(\vdots, \vdots ,\ddots, \vdots),(y_1^((n-2)),y_2^((n-2)), \ldots ,y_n^((n-2))),(y_1^((n)),y_2^((n)), \ldots ,y_n^((n)))|$.
Ora supponiamo che le $y_1(x),y_2(x)$ risolvano l'equazione lineare (*), cosicché si ha pure:
$y_i''(x)=-a_1(x)*y_i'(x)-a_0(x)*y_i(x) \quad$ per $i=1,2 \quad$;
allora, per le proprietà dei determinanti, è:
$W'=|(y_1,y_2),(-a_1*y_1'-a_0*y_1,-a_1*y_2'-a_0*y_2)|$
$\quad \quad =-a_1|(y_1,y_2),(y_1',y_2')|-a_0|(y_1,y_2),(y_1,y_2)|$
$\quad \quad =-a_1*W$
quindi il wronskiano $W'$ soddisfa la (W).
Nel caso generale si applicano le stesse proprietà dei determinanti e si giunge alla stessa conclusione.
Facciamo il caso di un'equazione d'ordine $2$, cosicché hai due integrali indipendenti $y_1(x),y_2(x)$ (il caso generale viene analogamente ma con più complicazioni formali): se la nostra equazione è:
(*) $y''+a_1*y'+a_0*y=0 \quad$ (nel caso generale $y^((n))+\sum_(k=0)^(n-1) a_k*y^((k))=0$)
allora dobbiamo provare che l'equazione che soddisfa il wronskiano è:
(W) $W'+a_1*W=0 \quad$ (nel caso generale $W'+a_(n-1)*W=0$).
Innanzitutto è $W(x):=|(y_1(x),y_2(x)),(y_1'(x),y_2'(x))| =y_1(x)*y_2'(x)-y_2(x)*y_1'(x)$, quindi derivando si ottiene:
$W'=y_1'*y_2' +y_1*y_2''-y_2'*y_1'-y_2*y_1''=y_1*y_2''-y_2*y_1''$
ossia:
$W'(x):=|(y_1(x),y_2(x)),(y_1''(x),y_2''(x))| \quad$;
in generale, per un wronskiano d'ordine $n$, vale la seguente regola di derivazione: $W'$ è il determinante che si ottiene da $W$ sostituendo le derivate $(n-1)$-esime $y_1^((n-1)),\ldots ,y_n^((n-1))$ (presenti nell'ultima riga di $W$) con le derivate $n$-esime $y_1^((n)),\ldots ,y_n^((n))$, cioè:
$W=|(y_1,y_2,\ldots ,y_n),(\vdots, \vdots ,\ddots, \vdots),(y_1^((n-2)),y_2^((n-2)), \ldots ,y_n^((n-2))),(y_1^((n-1)),y_2^((n-1)), \ldots ,y_n^((n-1)))| => W'=|(y_1,y_2,\ldots ,y_n),(\vdots, \vdots ,\ddots, \vdots),(y_1^((n-2)),y_2^((n-2)), \ldots ,y_n^((n-2))),(y_1^((n)),y_2^((n)), \ldots ,y_n^((n)))|$.
Ora supponiamo che le $y_1(x),y_2(x)$ risolvano l'equazione lineare (*), cosicché si ha pure:
$y_i''(x)=-a_1(x)*y_i'(x)-a_0(x)*y_i(x) \quad$ per $i=1,2 \quad$;
allora, per le proprietà dei determinanti, è:
$W'=|(y_1,y_2),(-a_1*y_1'-a_0*y_1,-a_1*y_2'-a_0*y_2)|$
$\quad \quad =-a_1|(y_1,y_2),(y_1',y_2')|-a_0|(y_1,y_2),(y_1,y_2)|$
$\quad \quad =-a_1*W$
quindi il wronskiano $W'$ soddisfa la (W).
Nel caso generale si applicano le stesse proprietà dei determinanti e si giunge alla stessa conclusione.
Il ragionamento che ho posto io non va bene? Il tuo è molto chiaro ugualmente, rimane soltanto una curiosità.
Non va.
Infatti i minori complementari non sono scalari, ma funzioni della variabile $x$; quindi il wronskiano non è combinazione lineare degli integrali.
Infatti i minori complementari non sono scalari, ma funzioni della variabile $x$; quindi il wronskiano non è combinazione lineare degli integrali.
Non va.
Infatti i minori complementari non sono scalari, ma funzioni della variabile x; quindi il wronskiano non è combinazione lineare degli integrali.
Chiaro. L'unica cosa è che, siccome le funzioni sono derivabili nell'intervallo che si considera, allora le derivate sono sempre finite.
Di conseguenza, in ogni punto, anche se sono funzioni della x, esse sono pur sempre numeri, scalari, anche se questi numeri cambiano in tutto l'intervallo (le funzioni non sono sempre costanti) a seconda della $x$ di cui sono le immagini. Alla fine la funzione che esprime? Numeri associati ad altri numeri.
Cos'è che tralascio?
Si, ma ciò non cambia la definizione di combinazione lineare.
Per fare una combinazione lineare di due funzioni $y_1(x),y_2(x)$ devi prendere due scalari $alpha,beta in RR$ e scrivere $alpha*y_1(x)+beta*y_2(x)$; non puoi fare altro, altrimenti esci dal campo delle combinazioni lineari.
In altre parole, tu stai guardando lo spazio $C^2([a,b])$ cui appartengono $y_1(x),y_2(x)$ come un $RR$-spazio vettoriale, cosicché $y_1(x),y_2(x)$ diventano i tuoi "vettori"; in un $RR$-spazio vettoriale una combinazione lineare di vettori è una somma di prodotti di vettori per scalari, nient'altro si chiama "combinazione lineare".
Per fare una combinazione lineare di due funzioni $y_1(x),y_2(x)$ devi prendere due scalari $alpha,beta in RR$ e scrivere $alpha*y_1(x)+beta*y_2(x)$; non puoi fare altro, altrimenti esci dal campo delle combinazioni lineari.
In altre parole, tu stai guardando lo spazio $C^2([a,b])$ cui appartengono $y_1(x),y_2(x)$ come un $RR$-spazio vettoriale, cosicché $y_1(x),y_2(x)$ diventano i tuoi "vettori"; in un $RR$-spazio vettoriale una combinazione lineare di vettori è una somma di prodotti di vettori per scalari, nient'altro si chiama "combinazione lineare".
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