Sul teorema di convoluzione
Esercizio. Verificare che
\[f(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2+4)}\frac{1}{((x-y)^2+4)}dx=\frac{\pi}{(16+y^2)}\]
usando il teorema di convoluzione per la trasformata di Fourier. Ovvero: leggere $f(y)$ come la convoluzione tra due funzioni, usare il teorema di convoluzione per calcolarne la trasformata di Fourier $\hat{f}(p)$, e infine usare il teorema di inversione per calcolarne l'antitrasformata e quindi il valore dell'integrale richiesto.
Svolgimento (con errori). [NB. Risolto]
Ho che \(f=g\ast g\) dove $g=1/(x^2+4)$. Allora calcolo
\[\hat{g}(p)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-ipz}}{(z-2i)(z+2i)}dz=\frac{\pi}{2} e^{-2p}\]
avendo usato il lemma di Jordan e il teorema dei residui, leggendo $g$ in campo complesso. Allora per il teorema di convoluzione avrò che
\[\hat{f}(p)=\hat{g}(p) \cdot \hat{g}(p)=\frac{\pi^2}{4}e^{-4p}\]
A questo punto uso il teorema di inversione
\[f(x)=\frac{1}{2\pi}\frac{\pi^2}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-4p} e^{ipx}dp=\]
\[=\frac{1}{2\pi}\frac{\pi^2}{4}\left[ \int_{-\infty}^{0}e^{p(ix-4)}dp + \int_{0}^{+\infty}e^{-p(4-ix)}dp\right]\]
\[=\frac{1}{2\pi}\frac{\pi^2}{4} \left[ \frac{1}{ix-4}-\frac{1}{4-ix}\right]=\frac{\pi}{4(ix-4)}\]
che non è il risultato corretto. Dove sbaglio? Grazie a tutti.
\[f(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2+4)}\frac{1}{((x-y)^2+4)}dx=\frac{\pi}{(16+y^2)}\]
usando il teorema di convoluzione per la trasformata di Fourier. Ovvero: leggere $f(y)$ come la convoluzione tra due funzioni, usare il teorema di convoluzione per calcolarne la trasformata di Fourier $\hat{f}(p)$, e infine usare il teorema di inversione per calcolarne l'antitrasformata e quindi il valore dell'integrale richiesto.
Svolgimento (con errori). [NB. Risolto]
Ho che \(f=g\ast g\) dove $g=1/(x^2+4)$. Allora calcolo
\[\hat{g}(p)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-ipz}}{(z-2i)(z+2i)}dz=\frac{\pi}{2} e^{-2p}\]
avendo usato il lemma di Jordan e il teorema dei residui, leggendo $g$ in campo complesso. Allora per il teorema di convoluzione avrò che
\[\hat{f}(p)=\hat{g}(p) \cdot \hat{g}(p)=\frac{\pi^2}{4}e^{-4p}\]
A questo punto uso il teorema di inversione
\[f(x)=\frac{1}{2\pi}\frac{\pi^2}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-4p} e^{ipx}dp=\]
\[=\frac{1}{2\pi}\frac{\pi^2}{4}\left[ \int_{-\infty}^{0}e^{p(ix-4)}dp + \int_{0}^{+\infty}e^{-p(4-ix)}dp\right]\]
\[=\frac{1}{2\pi}\frac{\pi^2}{4} \left[ \frac{1}{ix-4}-\frac{1}{4-ix}\right]=\frac{\pi}{4(ix-4)}\]
che non è il risultato corretto. Dove sbaglio? Grazie a tutti.
Risposte
Ok, ho trovato l'errore, mi sono scordato che il segno di $p$ varia, e con esso varia l'applicazione del lemma di Jordan. Ed adesso torna... Scusate... 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo