Sul teorema dei residui

[zio_paperone]

Sia la curva $\gamma(t) = exp(it + t^2)$ con $t in [-2\pi, 2\pi]$ e sia f la funzione

$f(z) =(z3 + z + 1)/(z(z - 2)(z + e^20))$

Si calcoli con l'aiuto del teorema dei residui l'integrale
$ \int f(z) dz $ lungo la curva.


Ora i residui mi sembra che si possano pure trovare..
Il mio problema è un'altro.. come è fatta quella curva?

intanto scriviamo $\gamma = exp(t^2) * exp(it)$ e il secondo fattore è il cerchio..
ma fa due giri? quindi bisogna moltiplicare i residui per due? e secondo voi z=2 è compreso nella curva? Io direi di sì.. perchè $(e^(2\pi))^2>2$.. ma non sono troppo convinto dei miei ragionamenti..

[gugo82]

Il sostegno di $gamma$ è l'unione di due rami di spirale simmetrici rispetto all'asse reale: per $t>=0$ si ottiene il ramo che si diparte da $1$ e, girando in senso antiorario, tocca i punti $e^(pi^2/4)*i, -e^(pi^2), -e^((9pi^2)/4)*i, e^(4pi^2)$; per $t<=0$ si ottiene il ramo simmetrico al precedente rispetto all'asse reale.
Sfruttando una rappresentaziona grafica non è (in via di principio) difficile stabilire quali poli della funzione integranda cadono nell'interno del dominio delimitato da $gamma$.

Inoltre, basta notare che $|gamma(t)|=e^(t^2)$ per affermare che la curva non è una circonferenza.


[size=59]1700° post![/size]