Sul criterio rapporto -> radice

[gcappellotto47]

Salve a tutti
sto leggendo i pdf delle lezioni (2010/2011) del prof Gobbino e ho trovato queste affermazioni (lezione 016) che non ho capito:
Criterio del rapporto -> radice.
Sia $a_n>0$ definitivamente.
Supponiamo che $\frac{a_{n+1}}{a_n} \rightarrow l$ allora $\sqrt{a_n} \rightarrow l$
Conseguenza: se $\frac{a_{n+1}}{a_n} \rightarrow 1$ allora anche $\sqrt{a_n} \rightarrow 1$ quindi non possiamo dire nulla su $a_n$.

Poco dopo presenta un esempio:
\[\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n}\]
applico il criterio rapporto -> radice
\[\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{n} \cdots =1\]
\[\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n}= \cdots =1\ \]
Quindi mi sembra che concluda affermato che il limite vale $1$.
Però prima aveva affermato che se il risultato è $1$ non si può dire nulla...
Forse non sto capendo bene io....
Gradirei qualche osservazione il merito.
Grazie e saluti
Giovanni C.

[ciampax]

Mischi due cose separate. Un teorema afferma che il limite di $\sqrt{a_n}$ e $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ coincidono, e questo ti permette di risolvere il calcolo di molti limiti con la radice ennesima. Punto.

La cosa che invece risulta "inutile" è il fatto che se stai utilizzando il criterio della radice (rapporto) per una serie e viene fuori 1 (cioè il caso in cui non puoi dire niente per la convergenza) è inutile applicare quello del rapporto (radice), visto che ti darà lo stesso risultato e, di nuovo, non ti permetterà di concludere niente.