Sul criterio del rapporto - Serie
Ciao,
Perché nel criterio del rapporto si richiede che il termine generale della serie non sia mai nullo?
Se la successione $|x_(n+1)|/|x_n|$ è nulla e/o non definita per un indice, io posso comunque fare il limite, o sbaglio?
Perché nel criterio del rapporto si richiede che il termine generale della serie non sia mai nullo?
Se la successione $|x_(n+1)|/|x_n|$ è nulla e/o non definita per un indice, io posso comunque fare il limite, o sbaglio?
Risposte
Si, puoi applicare il criterio definitivamente, ma il criterio in sé necessita che la successione non sia mai nulla.
Applichiamo il criterio alla serie $sum (1+(-1)^n)/(2^n)$...
Come ti si è detto altre volte, tutti gli enunciati dei teoremi sulle serie valgono ugualmente se le ipotesi sui termini sono verificate definitivamente, cioè a partire da un certo indice in poi.
Questo è un fatto talmente standard che ogni testo, per comodità, lo sottointende e suppone che le ipotesi sui termini siano verificate sempre.
"AnalisiZero":
Perché nel criterio del rapporto si richiede che il termine generale della serie non sia mai nullo?
Se la successione $|x_(n+1)|/|x_n|$ è nulla e/o non definita per un indice, io posso comunque fare il limite, o sbaglio?
Come ti si è detto altre volte, tutti gli enunciati dei teoremi sulle serie valgono ugualmente se le ipotesi sui termini sono verificate definitivamente, cioè a partire da un certo indice in poi.
Questo è un fatto talmente standard che ogni testo, per comodità, lo sottointende e suppone che le ipotesi sui termini siano verificate sempre.
Io mi chiedevo proprio perché il criterio in sé richiedere che la successione dentro la serie non sia mai nulla
Prima o poi ti ritroverai a dividere per ogni termine della serie (o meglio per il loro valore assoluto), quindi devono essere diversi da $0$ perché ciò abbia senso.
@AnalisiZero: un esempio vale più di mille parole, e in matematica, io direi che il numero di parole si può elevare a centomila.
Prova ad applicare il criterio del rapporto alla serie di termine generale
\[
a_n=\frac{1+(-1)^n}{2^n}.\]
Ragionaci su una decina di minuti, per favore. Può essere d'aiuto scrivere il termine generale in forma estesa
\[
(a_n)_{n=0}^\infty=\left( 2, 0, 1, 0, \frac{1}{2^3},0, \frac{1}{2^5},0,\ldots \right).\]
"gugo82":
Applichiamo il criterio alla serie $sum (1+(-1)^n)/(2^n)$...
Prova ad applicare il criterio del rapporto alla serie di termine generale
\[
a_n=\frac{1+(-1)^n}{2^n}.\]
Ragionaci su una decina di minuti, per favore. Può essere d'aiuto scrivere il termine generale in forma estesa
\[
(a_n)_{n=0}^\infty=\left( 2, 0, 1, 0, \frac{1}{2^3},0, \frac{1}{2^5},0,\ldots \right).\]
"dissonance":
@AnalisiZero: un esempio vale più di mille parole, e in matematica, io direi che il numero di parole si può elevare a centomila.
[quote="gugo82"]Applichiamo il criterio alla serie $sum (1+(-1)^n)/(2^n)$...
Prova ad applicare il criterio del rapporto alla serie di termine generale
\[
a_n=\frac{1+(-1)^n}{2^n}.\]
Ragionaci su una decina di minuti, per favore. Può essere d'aiuto scrivere il termine generale in forma estesa
\[
(a_n)_{n=0}^\infty=\left( 2, 0, 1, 0, \frac{1}{2^3},0, \frac{1}{2^5},0,\ldots \right).\][/quote]
In questo caso la successione $|a_(n+1)|/|a_n|$ è costantemente nulla, e il limite vale $0$. Quindi secondo il criterio la serie è convergente assolutamente. Giusto?
Se \(n\) è pari, allora \(a_{n+1}/a_n=0\), e su questo ti do ragione. Ma se \(n\) è dispari non sono d'accordo. Se \(n\) è dispari, \(a_n=0\)...
È vero. Quindi la successione è (0, non esiste, 0, non esiste, 0...).
Quindi è indeterminata?
Quindi è indeterminata?
@AnalisiZero: Prima di rispondere, conviene che rifletti.
La risposta che hai dato mostra che ignori totalmente cosa sia una successione... Ma non credo sia così.
La risposta che hai dato mostra che ignori totalmente cosa sia una successione... Ma non credo sia così.
"gugo82":
@AnalisiZero: Prima di rispondere, conviene che rifletti.
La risposta che hai dato mostra che ignori totalmente cosa sia una successione... Ma non credo sia così.
Non ci arrivo...
So che una successione è una funzione da $NN$ ad $RR$.
La successione del criterio del rapporto, $|a_(n+1)|/|a_n|$, vale 0 quando l'indice è pari, e non è definita per gli indici dispari.
Dove sbaglio?
Se non vedi la contraddizione in ciò che hai scritto, significa che ignori totalmente cosa sia una funzione.
"gugo82":
Se non vedi la contraddizione in ciò che hai scritto, significa che ignori totalmente cosa sia una funzione.
Una funzione da $A$ a $B$ è una legge che associa ad ogni elemento di $A$ un elemento di $B$.
La contraddizione sta nel fatto che la successione non può assegnare ad ogni naturale un reale?
Direi!
Ma scusa, non tutte le funzioni sono continue in tutto il dominio, eppure i limiti si fanno lo stesso.
Perché non si può dire lo stesso per le successioni?
Perché non si può dire lo stesso per le successioni?
Cosa c'entra?
Ma l'hai studiata la dimostrazione del criterio?
Ti pare che possa funzionare lo stesso?
Meglio se ti ripassi con calma i concetti base.
Ma l'hai studiata la dimostrazione del criterio?
Ti pare che possa funzionare lo stesso?
Meglio se ti ripassi con calma i concetti base.
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