Sui prolungamenti di funzioni continue in spazi di Hibert

[randomize]

Sia $H$ uno spazio di Hilbert, infinito dimensionale, sul campo $C$ complesso

Sia $S$ un sottoinsieme compatto di $H$

Sia $V=bar(span(S))$

Sia la funzione $g : S to C$ lineare e continua in $S$ (secondo la metrica di $H$)

Il mio problema è:
è sempre possibile estendere $g$ da $S$ a $V$ in modo che sia un funzionale lineare continuo di $V$ ?

Grazie per qualunque aiuto.

[dissonance]

Come fa $g$ ad essere lineare se è definita su un sottoinsieme compatto? Un sottoinsieme compatto non può essere un sottospazio vettoriale.

Ad ogni modo, mi pare che il problema sia semplice. Se \(g\colon W\to \mathbb C\) è lineare e continua (qui \(W\subset H\) è un sottospazio vettoriale), \(x\in\overline W\) e \(x_n\in W,\ x_n\to x\) allora uno può porre
\[
g(x)=\lim_{n\to \infty} g(x_n)
\]
Questa è una ben definita estensione di \(g\) a \(\overline W\) (tra l'altro è anche unica), come puoi facilmente dimostrare. (Devi verificare che la definizione non dipende dalla scelta di \(x_n\) e che la funzione \(g\) è lineare e continua).

[randomize]

dissonance, scusami hai ragione, $g$ non è lineare
per la continuità intendevo che per ogni successione di $s_n$ di elementi di $S$ tale che $s_n to s_0$, nella metrica di $H$ allora $g(s_n) to g(s_0)$, ecco "solo" con le ipotesi che ho detto esiste "sempre" un prolungamento di $g$ tale che diventi un funzionale lineare continuo di $V$ ?

[dissonance]

"randomize":$g$ non è lineare [...]esiste "sempre" un prolungamento di $g$ tale che diventi un funzionale lineare [...]

Se $g$ non è lineare, non puoi sperare di prolungarlo a un funzionale lineare.

[randomize]

dissonance per la linearità è facile prolungare la funzione $g$ da $S$ ad un funzionale lineare in quanto $V$ è definito come la chiusura dello span proprio di $S$, il problema è dimostrare se resta è continua.