Sui limiti delle funzioni a più variabili
Buon giorno. Mi occorrerebbero dei chiarimenti in proposito dei limiti di funzioni a più variabili.
In generale, nonn trovo parecchie difficoltà nel loro calcolo; tuttavia, il tutto si complica nel momento in cui vi è da determinare la continuità di una funzione in un dato punto. Infatti, qui entrano in gioco le direzioni, le restrizioni, etc.. etc...
Come bisogna risolverli in tal caso? Spesso si ricorre alla restrizione sulla prima bisettrice, o alla parabola...
Sapevo che un metodo più che valido era quello delle coordinate polari, ma non credo possa essere d'aiuto...
Porto un esempio: ho calcolato il seguente limite di una funzione definita a tratti:
$f(x,y)= (xy^3)/(x^2+y^2)$ se x è diverso da 0 :
0 se x = 0
se considero i punti ( x,y) appartenenti all'asse y, il limite vale 0;
se considero i punti (x,y) non appartennti all'asse y, il limite mi risulta 0.
Non contento, ho considerato la restrizione alla prima bisettrice e alla parabola...ma mi risulta sempre 0. Come faccio a concludere la continuità, accordendomi di eventuali " imbrogli" nel calcolo?
E' difficile poter considerare tutte le restrizioni per poter arrivare a concludere la non verifica del teorema d'unicità del limite e/o di continuità della funzione in un punto.
Vi ringrazio
In generale, nonn trovo parecchie difficoltà nel loro calcolo; tuttavia, il tutto si complica nel momento in cui vi è da determinare la continuità di una funzione in un dato punto. Infatti, qui entrano in gioco le direzioni, le restrizioni, etc.. etc...
Come bisogna risolverli in tal caso? Spesso si ricorre alla restrizione sulla prima bisettrice, o alla parabola...
Sapevo che un metodo più che valido era quello delle coordinate polari, ma non credo possa essere d'aiuto...
Porto un esempio: ho calcolato il seguente limite di una funzione definita a tratti:
$f(x,y)= (xy^3)/(x^2+y^2)$ se x è diverso da 0 :
0 se x = 0
se considero i punti ( x,y) appartenenti all'asse y, il limite vale 0;
se considero i punti (x,y) non appartennti all'asse y, il limite mi risulta 0.
Non contento, ho considerato la restrizione alla prima bisettrice e alla parabola...ma mi risulta sempre 0. Come faccio a concludere la continuità, accordendomi di eventuali " imbrogli" nel calcolo?
E' difficile poter considerare tutte le restrizioni per poter arrivare a concludere la non verifica del teorema d'unicità del limite e/o di continuità della funzione in un punto.
Vi ringrazio
Risposte
Per calcolare limiti in due variabili non c'è una tecnica precisa come nel caso di una variabile. Due metodi che funzionano spesso sono (considero solo il caso $(x, y) \to (0, 0)$):
1) Passare in coordinate polari. Invece di calcolare $lim_{(x, y)\to(0, 0)}f(x, y)$, valuta l'espressione di $f$ in coordinate polari ($bar {f}(rho, theta)=f(rho cos theta, rho sin theta)$) e analizzane il comportamento per $rho \to 0$. Se quest'ultimo limite esiste uniformemente rispetto a $theta$ allora puoi concludere che si tratta del limite $lim_{(x, y)\to(0, 0)}f(x, y)$. In tutti gli altri casi (il limte non esiste mai, non esiste per qualche $theta$, esiste per ogni $theta$ ma dipende da $theta$ ... ) il limite non esiste. Per la dimostrazione di questo risultato prova ad avviare una ricerca sul forum, ne abbiamo parlato varie volte. Nel caso ne riparliamo.
2) Fornire delle stime con funzioni dal comportamento noto. Faccio direttamente un esempio. Considera la funzione $f(x, y)={(((2xy)^2)/(x^2+y^2), x!=0\ y!=0), (0, x=0\ y=0):}$. Questa è infinitesima per $(x, y)\to(0, 0)$. Infatti dalla disuguaglianza $(x-y)^2>=0$ segue che $2xy<=x^2+y^2$ [size=75](nota: è un caso particolare della disuguaglianza di Young) [/size] e quindi che $|2xy|^2<= (x^2+y^2)^2$; allora $0<=|((2xy)^2)/(x^2+y^2)|<=(x^2+y^2)\to0$.
1) Passare in coordinate polari. Invece di calcolare $lim_{(x, y)\to(0, 0)}f(x, y)$, valuta l'espressione di $f$ in coordinate polari ($bar {f}(rho, theta)=f(rho cos theta, rho sin theta)$) e analizzane il comportamento per $rho \to 0$. Se quest'ultimo limite esiste uniformemente rispetto a $theta$ allora puoi concludere che si tratta del limite $lim_{(x, y)\to(0, 0)}f(x, y)$. In tutti gli altri casi (il limte non esiste mai, non esiste per qualche $theta$, esiste per ogni $theta$ ma dipende da $theta$ ... ) il limite non esiste. Per la dimostrazione di questo risultato prova ad avviare una ricerca sul forum, ne abbiamo parlato varie volte. Nel caso ne riparliamo.
2) Fornire delle stime con funzioni dal comportamento noto. Faccio direttamente un esempio. Considera la funzione $f(x, y)={(((2xy)^2)/(x^2+y^2), x!=0\ y!=0), (0, x=0\ y=0):}$. Questa è infinitesima per $(x, y)\to(0, 0)$. Infatti dalla disuguaglianza $(x-y)^2>=0$ segue che $2xy<=x^2+y^2$ [size=75](nota: è un caso particolare della disuguaglianza di Young) [/size] e quindi che $|2xy|^2<= (x^2+y^2)^2$; allora $0<=|((2xy)^2)/(x^2+y^2)|<=(x^2+y^2)\to0$.
Nel tuo caso il limite è effettivamente [tex]$0$[/tex].
Infatti, ricordando che [tex]$y^2\leq x^2+y^2$[/tex] per ogni [tex]$(x,y)\in \mathbb{R}^2$[/tex], hai:
[tex]$0\leq |f(x,y)|=\frac{|x|\ |y^3|}{x^2+y^2} \leq \frac{|x|\ |y|\ y^2}{y^2} = |xy|$[/tex]
per [tex]$(x,y)\neq \mathfrak{o}$[/tex] e [tex]$|xy| \to 0$[/tex] quando [tex]$(x,y)\to \mathfrak{o}$[/tex].
Per il Teorema dei carabinieri concludi che pure [tex]$f(x,y) \to 0$[/tex].
Infatti, ricordando che [tex]$y^2\leq x^2+y^2$[/tex] per ogni [tex]$(x,y)\in \mathbb{R}^2$[/tex], hai:
[tex]$0\leq |f(x,y)|=\frac{|x|\ |y^3|}{x^2+y^2} \leq \frac{|x|\ |y|\ y^2}{y^2} = |xy|$[/tex]
per [tex]$(x,y)\neq \mathfrak{o}$[/tex] e [tex]$|xy| \to 0$[/tex] quando [tex]$(x,y)\to \mathfrak{o}$[/tex].
Per il Teorema dei carabinieri concludi che pure [tex]$f(x,y) \to 0$[/tex].
[tex]\mathfrak{o}[/tex]: O gotica minuscola. Però!
In momenti come questo mi rendo conto di quanto sono rozzo, io, che avrei scritto 0 !
Ma quando scrivi a mano, come fai?
In momenti come questo mi rendo conto di quanto sono rozzo, io, che avrei scritto 0 !
Ma quando scrivi a mano, come fai?
Beh, mi arrangio... 
Ora di solito uso una [tex]$o$[/tex].
È un'abitudine che ho preso da quando ho scritto la tesi dato che Schneider, nel suo testo sui corpi convessi, usa questa notazione per il vettore nullo dello spazio euclideo; quando l'ho vista ho pensato "Mo' la uso pure io..." perchè è molto più semplice di [tex]$(0,\ldots ,0)$[/tex] (notazione che avevo sempre usato fino ad allora), non ambigua come [tex]$0$[/tex] (che si confonde con lo zero degli scalari) e meno brutta di [tex]$\underline{0}$[/tex] (ho sempre odiato le notazioni da ingegnere).
Poi il carattere gotico è venuto ora, come variazione in senso estetico... Già poco tempo fa avevo usato [tex]$\mathfrak{H}$[/tex] per lo spazio di Hilbert (ispirandomi alla notazione classica di Riesz) e mi era piaciuto, quindi ora mi son detto "Perchè non provare?".
Ora di solito uso una [tex]$o$[/tex].
È un'abitudine che ho preso da quando ho scritto la tesi dato che Schneider, nel suo testo sui corpi convessi, usa questa notazione per il vettore nullo dello spazio euclideo; quando l'ho vista ho pensato "Mo' la uso pure io..." perchè è molto più semplice di [tex]$(0,\ldots ,0)$[/tex] (notazione che avevo sempre usato fino ad allora), non ambigua come [tex]$0$[/tex] (che si confonde con lo zero degli scalari) e meno brutta di [tex]$\underline{0}$[/tex] (ho sempre odiato le notazioni da ingegnere).
Poi il carattere gotico è venuto ora, come variazione in senso estetico... Già poco tempo fa avevo usato [tex]$\mathfrak{H}$[/tex] per lo spazio di Hilbert (ispirandomi alla notazione classica di Riesz) e mi era piaciuto, quindi ora mi son detto "Perchè non provare?".
Ragazzi, siete stati davvero molto gentili e soprattutto chiari.
Dissonance, non ho capito come poter distinguere il caso 1) di non applicabilità ( perchè senza alcun risultato) del calcolo del limite attraverso le coordinate polari quando vi sono dei valori di $\theta$ per i quali esso non vale. Come faccio ad accorgermi di tali valori?
Dissonance, non ho capito come poter distinguere il caso 1) di non applicabilità ( perchè senza alcun risultato) del calcolo del limite attraverso le coordinate polari quando vi sono dei valori di $\theta$ per i quali esso non vale. Come faccio ad accorgermi di tali valori?
E' una cosa più facile da fare che da dire. Te ne accorgi sicuramente se c'è qualcosa che va storto. Per esempio prendi la funzione $f(x, y)={(1, x=0 " oppure " y=0), (0, "altrimenti"):}$. Supponi di avere il prosciutto sugli occhi e di non accorgerti che il limite non esiste. L'espressione di $f$ in coordinate polari è $bar{f}(rho, theta)={(1, theta=pi/2 +kpi/2\ k\inZZ), (0, "altrimenti"):}$ Quindi il limite per $rho\to0$ esiste per ogni $theta$, ma dipende da quest'ultima: per $theta=pi/4$, ad esempio, il limite è $0$; per $theta=0$, il limite è $1$. Puoi concludere che il limite non esiste.
Ti ringrazio dissonance 
buon fine settimana.
Alex
buon fine settimana.
Alex
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