Sui fondamenti di De Moivre
Salve ragazzi, qualche giorno fa mi avete aiutato tantissmo chiarendomi qualche dubbio su De Moivre. 
Adesso però facendo vari esercizi mi sono bloccato, e ho capito di non avere veramente capito.
In particolare ho due dubbi, spero di spiegarmi:
1)
Supponiamo che io debba risolvere $root(4)(-1)$. Io so che $a=-1$ e $b=0$ da cui il mio $theta$ è $pi$.
Ottengo dunque, applicando la formula, $cos((pi+2kpi)/4) +- sin((pi+2kpi)/4)$.
Andando a guardare le soluzioni, ovvero $1/root(2)(2)$ deduco che vengono da $cos(pi/4)$ e da $sin(pi/4)$ al che mi chiedo io: dove è andato a finire il $+2kpi$?
Mi viene ancor di più tale dubbio allorchè nella soluzione leggo con $k=0,1,2,3$
2)
Le altre due soluzioni le trovo facendo il seguente ragionamento. E' a coefficienti reali quindi esistono le coniugate.
Ma mi chiedo, esiste un altro metodo? Se avessi ad es $lambda^8=-1$ questo ragionamento (delle coniugate) non filerebbe più, credo, o almeno io non saprei risolverlo.
Che la risposta sia legata anche qui a quel $k=0,1,2,3$ citato sopra?
Spero che qualcuno riesca a fare un pò di chiarezza nella mia testa...
Grazie in anticipo a tutti
Adesso però facendo vari esercizi mi sono bloccato, e ho capito di non avere veramente capito.
In particolare ho due dubbi, spero di spiegarmi:
1)
Supponiamo che io debba risolvere $root(4)(-1)$. Io so che $a=-1$ e $b=0$ da cui il mio $theta$ è $pi$.
Ottengo dunque, applicando la formula, $cos((pi+2kpi)/4) +- sin((pi+2kpi)/4)$.
Andando a guardare le soluzioni, ovvero $1/root(2)(2)$ deduco che vengono da $cos(pi/4)$ e da $sin(pi/4)$ al che mi chiedo io: dove è andato a finire il $+2kpi$?
Mi viene ancor di più tale dubbio allorchè nella soluzione leggo con $k=0,1,2,3$
2)
Le altre due soluzioni le trovo facendo il seguente ragionamento. E' a coefficienti reali quindi esistono le coniugate.
Ma mi chiedo, esiste un altro metodo? Se avessi ad es $lambda^8=-1$ questo ragionamento (delle coniugate) non filerebbe più, credo, o almeno io non saprei risolverlo.
Che la risposta sia legata anche qui a quel $k=0,1,2,3$ citato sopra?
Spero che qualcuno riesca a fare un pò di chiarezza nella mia testa...
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
Hai cominciato bene mettendo $-1$ in forma polare (ossia $rho=1, theta=pi$, cosicché $-1="e"^(pi "i")$), ma poi ti sei perso perchè non hai applicato bene la formula per la determinazione delle radici.
Ricordo che ogni numero complesso non nullo ha esattamente $n$ radici $n$-esime distinte: se il numero $z$ è messo in forma polare, ossia $z=rho "e"^(theta "i")$, le $n$ radici $n$-esime di $z$ si trovano con la formula:
$zeta_k=\root(n)(rho)*"e"^((theta +2kpi)/n "i")$, con $k=0,\ldots ,n-1$;
in altre parole, le radici $n$-esime $zeta_0,zeta_1,\ldots ,zeta_(n-1)$ di $z$ sono i numeri che hanno modulo pari alla radice $n$-esima reale di $rho=|z|$ ed argomenti rispettivamente uguali a $theta_0=theta/n,theta_1=(theta+2pi)/n, \ldots ,theta_(n-1)=(theta+2(n-1)pi)/n$.
Nel tuo caso hai:
$rho=1, theta=pi$
quindi le radici quarte di $-1$ sono:
$zeta_0=1*"e"^(pi/4"i")=cos(pi/4)+sin(pi/4)=sqrt(2)/2+sqrt(2)/2"i"$,
$zeta_1=1*"e"^(3/4pi "i")=cos(3/4pi)+sin(3/4pi)=-sqrt(2)/2+sqrt(2)/2"i"$,
$zeta_2=1*"e"^(5/4pi"i")=cos(5/4pi)+sin(5/4pi)=-sqrt(2)/2-sqrt(2)/2"i"$,
$zeta_3=1*"e"^(7/4pi"i")=cos(7/4pi)+sin(7/4pi)=sqrt(2)/2-sqrt(2)/2"i"$
e si vede subito che $zeta_3=bar(zeta_0)$ e $zeta_2=bar(zeta_1)$.
Ricordo che ogni numero complesso non nullo ha esattamente $n$ radici $n$-esime distinte: se il numero $z$ è messo in forma polare, ossia $z=rho "e"^(theta "i")$, le $n$ radici $n$-esime di $z$ si trovano con la formula:
$zeta_k=\root(n)(rho)*"e"^((theta +2kpi)/n "i")$, con $k=0,\ldots ,n-1$;
in altre parole, le radici $n$-esime $zeta_0,zeta_1,\ldots ,zeta_(n-1)$ di $z$ sono i numeri che hanno modulo pari alla radice $n$-esima reale di $rho=|z|$ ed argomenti rispettivamente uguali a $theta_0=theta/n,theta_1=(theta+2pi)/n, \ldots ,theta_(n-1)=(theta+2(n-1)pi)/n$.
Nel tuo caso hai:
$rho=1, theta=pi$
quindi le radici quarte di $-1$ sono:
$zeta_0=1*"e"^(pi/4"i")=cos(pi/4)+sin(pi/4)=sqrt(2)/2+sqrt(2)/2"i"$,
$zeta_1=1*"e"^(3/4pi "i")=cos(3/4pi)+sin(3/4pi)=-sqrt(2)/2+sqrt(2)/2"i"$,
$zeta_2=1*"e"^(5/4pi"i")=cos(5/4pi)+sin(5/4pi)=-sqrt(2)/2-sqrt(2)/2"i"$,
$zeta_3=1*"e"^(7/4pi"i")=cos(7/4pi)+sin(7/4pi)=sqrt(2)/2-sqrt(2)/2"i"$
e si vede subito che $zeta_3=bar(zeta_0)$ e $zeta_2=bar(zeta_1)$.
"Gugo82":
Hai cominciato bene mettendo $-1$ in forma polare (ossia $rho=1, theta=pi$, cosicché $-1="e"^(pi "i")$), ma poi ti sei perso perchè non hai applicato bene la formula per la determinazione delle radici.
Ricordo che ogni numero complesso non nullo ha esattamente $n$ radici $n$-esime distinte: se il numero $z$ è messo in forma polare, ossia $z=rho "e"^(theta "i")$, le $n$ radici $n$-esime di $z$ si trovano con la formula:
$zeta_k=\root(n)(rho)*"e"^((theta +2kpi)/n "i")$, con $k=0,\ldots ,n-1$;
in altre parole, le radici $n$-esime $zeta_0,zeta_1,\ldots ,zeta_(n-1)$ di $z$ sono i numeri che hanno modulo pari alla radice $n$-esima reale di $rho=|z|$ ed argomenti rispettivamente uguali a $theta_0=theta/n,theta_1=(theta+2pi)/n, \ldots ,theta_(n-1)=(theta+2(n-1)pi)/n$.
Nel tuo caso hai:
$rho=1, theta=pi$
quindi le radici quarte di $-1$ sono:
$zeta_0=1*"e"^(pi/4"i")=cos(pi/4)+sin(pi/4)=sqrt(2)/2+sqrt(2)/2"i"$,
$zeta_1=1*"e"^(3/4pi "i")=cos(3/4pi)+sin(3/4pi)=-sqrt(2)/2+sqrt(2)/2"i"$,
$zeta_2=1*"e"^(5/4pi"i")=cos(5/4pi)+sin(5/4pi)=-sqrt(2)/2-sqrt(2)/2"i"$,
$zeta_3=1*"e"^(7/4pi"i")=cos(7/4pi)+sin(7/4pi)=sqrt(2)/2-sqrt(2)/2"i"$
e si vede subito che $zeta_3=bar(zeta_0)$ e $zeta_2=bar(zeta_1)$.
Ho capito TUTTO! Risposta migliore di questa non potevo desiderare. Non ci era stata data in questa forma la formula. Adesso è veramente tutto chiaro.
Grazie infinitamente!!!!!!!!!!!!!!!!
Un'ultima cosa: se ho $root(3)(1)$ trovo:
$theta0=0$ da cui ottengo i
$theta1=2/3pi$ da cui ottengo $-1/2+sqrt(3)/2$
$theta2=4/3pi$ da cui ottengo $-1/2-sqrt(3)/2$
Non so scrivere la soluzione completa dell'equazione differenziale, in particolare non so scrivere la parte relativa a $theta0$.
$C1?? + C2*e^(-1/2x)*sin(sqrt(3)/2)*x + C3*e^(-1/2x)*cos(sqrt(3)/2)*x$
Cosa ci va accato a C1?
Grazie sempre
$theta0=0$ da cui ottengo i
$theta1=2/3pi$ da cui ottengo $-1/2+sqrt(3)/2$
$theta2=4/3pi$ da cui ottengo $-1/2-sqrt(3)/2$
Non so scrivere la soluzione completa dell'equazione differenziale, in particolare non so scrivere la parte relativa a $theta0$.
$C1?? + C2*e^(-1/2x)*sin(sqrt(3)/2)*x + C3*e^(-1/2x)*cos(sqrt(3)/2)*x$
Cosa ci va accato a C1?
Grazie sempre
"playbasfa":
Un'ultima cosa: se ho $root(3)(1)$ trovo:
$theta_0=0$ da cui ottengo $i$
Casomai ottieni $1$.
"playbasfa":
$theta_1=2/3pi$ da cui ottengo $-1/2+sqrt(3)/2$
$theta_2=4/3pi$ da cui ottengo $-1/2-sqrt(3)/2$
Qui invece mancano gli $i$...
Invero le altre due radici di $lambda^3=1$ sono $-1/2+sqrt(3)/2"i",-1/2-sqrt(3)/2"i"$.
Occhio ai conti...
"playbasfa":
Non so scrivere la soluzione completa dell'equazione differenziale, in particolare non so scrivere la parte relativa a $theta0$.
$C1?? + C2*e^(-1/2x)*sin(sqrt(3)/2)*x + C3*e^(-1/2x)*cos(sqrt(3)/2)*x$
Cosa ci va accato a C1?
Se il polinomio caratteristico dell'equazione omogenea è (come penso) $lambda^3-1=0$, allora $1$ e $-1/2pm sqrt(3)/2"i"$ sono radici di molteplicità $1$.
Ricorda che se una radice $lambda_0=alpha$ è reale ed ha molteplicità $1$, allora ad essa è associata la soluzione:
$"e"^(alpha x)$;
viceversa se $lambda_0=alpha +beta "i"$ è complessa (non reale) ed ha molteplicità $1$, allora anche il coniugato $bar(lambda_0)=alpha-beta "i"$ è una radice complessa di molteplicità $1$, ed a tali due radici sono associate le soluzioni:
$"e"^(alpha x) cos beta x$ e $"e"^(alpha x) sin betax$.
Nel tuo caso hai una radice reale $1$ e due radici complesse coniugate $-1/2pm sqrt(3)/2"i"$, quindi le tre soluzioni associate sono:
$"e"^x, "e"^(-1/2x) cos(sqrt(3)/2x), "e"^(-1/2x) sin(sqrt(3)/2x)$
e l'integrale generale dell'equazione omogenea $y'''-y=0$ è:
$C_1"e"^x+"e"^(-1/2x) [C_2cos(sqrt(3)/2x)+C_3 sin(sqrt(3)/2x)]$.
Ovviamente, me ne sono andato per un'idea, visto che non hai scritto esplicitamente l'equazione differenziale...
Fammi sapere se ci ho azzeccato!
"Gugo82":
Casomai ottieni $1$.
Ecco il problema!
Aggiungendo poi questo:
"Gugo82":
Ricorda che se una radice λ0=α è reale ed ha molteplicità 1
è tutto ok!
"Gugo82":
Ovviamente, me ne sono andato per un'idea, visto che non hai scritto esplicitamente l'equazione differenziale...
Fammi sapere se ci ho azzeccato!
In pieno!! Grazie mille!!!!!
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