Sugli integrali

[Sk_Anonymous]

1)

Calcolare:

$int1/(x*sqrt(x^2+x-2))dx

2)

Studiare la funzione $F(x)=int_0^xt/(t^2+1)*e^(-t^2)dt,
investigando in particolare la presenza di eventuali asintoti e tracciandone poi un grafico qualitativo

3)

Determinare l'insieme delle primitive della funzione
$f(x)=sqrt((2x)/(1-x)^3

e studiare l'esistenza di $int_0^1sqrt((2x)/(1-x)^3)dx

[gugo82]

"Sturmentruppen":1)

Calcolare:

$int1/(x*sqrt(x^2+x-2))dx$

3)

Determinare l'insieme delle primitive della funzione
$f(x)=sqrt((2x)/(1-x)^3$ <--------------------------------- Ma è tutto sotto radice o solo il numeratore?

e studiare l'esistenza di $int_0^1sqrt((2x)/(1-x)^3)dx

Dovrebbero farsi per sostituzione. Potresti provare con una delle seguenti:

- $t=x+sqrt(x^2+x-2)$ oppure $t=x-sqrt(x^2+x-2)$ per 1);
- $t=sqrt(x)$ per 3) (se poi è tutto il rapporto sotto radice prova con $t=x^3$).

"Sturmentruppen":2)

Studiare la funzione $F(x)=int_0^xt/(t^2+1)*e^(-t^2)dt,
investigando in particolare la presenza di eventuali asintoti e tracciandone poi un grafico qualitativo

Questo si fa con meno conti ed è più interessante!
L'unica regola d'oro da tener presente quando si studiano le funzioni integrali è la seguente: "Ricordare tutte le proprietà dell'integrale di Riemann ed i teoremi relativi all'integrazione delle funzioni limitate".

L'insieme di definizione dell'integrando è $RR$ e in tale insieme esso non possiede singolarità: quindi:

a) $F$ è definita in $RR$.

L'integrando è funzione dispari in $RR$ e da ciò segue immediatamente che:

b) la $F$ è una funzione pari di $x$.

Notiamo che l'integrando è positivo [risp. negativo] in $]0,+oo[$ [risp. $]-oo,0[$] e si annulla unicamente per $t=0$: applicando i noti teoremi sul segno dell'integrale di una funzione a segno costante possiamo dire che la $F(x)$ conserva lo stesso segno dell'integrando in $[0,+oo[$ e lo inverte in $]-oo,0]$, perciò:

c) $F(x)>0$ per $x!=0$ ed $F(0)=0$.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale ci consente di affermare che:

d) $F$ è continua in $RR$ ed ivi derivabile con continuità (sicchè $F in C^1(RR)$ almeno).

L'integrando è in $\pm oo$ un infinitesimo d'ordine infinitamente grande (per la presenza del fattore $e^(-t^2)$), per cui sono finiti gli integrali impropri sugli intervalli $]-oo,0]$ e $[0,+oo[$: pertanto risultano finiti i limiti $lim_(xrarr pm oo) F(x)$ ed tali due limiti sono addirittura uguali, vista la parità di $F$. Detto $L>0$ il valore comune dei due limiti possiamo affermare che:

e) la $F$ è asintotica alla retta d'equazione $y=L$ in entrambi gli estremi del suo insieme di definizione;

vista la positività dell'integrando in $RR^+$, possiamo pure dire che:

f) la $F$ decresce strettamente in $]-oo,0]$ e cresce strettamente in $[0,+oo[$;

ne consegue che $0$ ed $L$ sono, rispettivamente, gli estremi inferiore e superiore di $F$, cosicchè:

g) il grafico della $F$ è tutto compreso nella striscia di $RR times [0,L[ subset RR^2$.

Con tutte le informazioni a disposizione potresti già tracciare un grafico soddisfacente... Se poi vuoi essere proprio preciso dovresti trovare le ascisse dei flessi (ne esistono certamente due, simmetrici rispetto a $0$) analizzando la derivata prima del tuo integrando: io però mi fermo qui, data la mia proverbiale insofferenza per il fare calcoli inutili.

Spero di essere stato utile. Buono studio.