Suggerimento integrale irrazionale
salve, se possibile, desideravo un suggerimento per la risoluzione di questo integrale 
nell'ampliare il mio personalissimo "database" di esercizi svolti...mi sono trovato a svolgere questo
$int sqrt( 2-x^2) dx $ di solito, so, che questo tipo di integrali si risolvono tramite sostituzione...
so che non c'è un metodo standard.... ho visto che di solito si sostituisce con una funzione "iperbolica" ;
in questo caso però ho visto una risoluzione di questo tipo:
$x=sqrt(2) sint$ ; segue che $dx=sqrt(2)cost dt $
come mai questa sostituzione ?
nell'ampliare il mio personalissimo "database" di esercizi svolti...mi sono trovato a svolgere questo
$int sqrt( 2-x^2) dx $ di solito, so, che questo tipo di integrali si risolvono tramite sostituzione...
so che non c'è un metodo standard.... ho visto che di solito si sostituisce con una funzione "iperbolica" ;
in questo caso però ho visto una risoluzione di questo tipo:
$x=sqrt(2) sint$ ; segue che $dx=sqrt(2)cost dt $
come mai questa sostituzione ?
Risposte
a dir la verità la forma dell'integranda già suggerisce di cercare di ricondursi alla ben nota uguaglianza $cos x = sqrt(1-sen^2x)$.
A questo punto sostituendo l'espressione trovata (c'è un errore, il differenziale della funzione dovrebbe essere $dx=sqrt(2)costdt$)
l'integrale diventa
$intsqrt(2 - 2sin^2t)*sqrt(2)*cos tdt = intsqrt(2)*sqrt(1-sin^2t)*sqrt(2)costdt= 2*intcos^2tdt$
di cui sai già la risoluzione.
La ricerca di funzioni iperboliche va fatta quando l'integranda è una funzione del tipo $sqrt(a + bx^2)$, perché si vuole sfruttare la proprietà $cosh^2 t = sinh^2 t +1$
A questo punto sostituendo l'espressione trovata (c'è un errore, il differenziale della funzione dovrebbe essere $dx=sqrt(2)costdt$)
l'integrale diventa
$intsqrt(2 - 2sin^2t)*sqrt(2)*cos tdt = intsqrt(2)*sqrt(1-sin^2t)*sqrt(2)costdt= 2*intcos^2tdt$
di cui sai già la risoluzione.
La ricerca di funzioni iperboliche va fatta quando l'integranda è una funzione del tipo $sqrt(a + bx^2)$, perché si vuole sfruttare la proprietà $cosh^2 t = sinh^2 t +1$
"Zkeggia":
l'integrale diventa
$intsqrt(2 - 2sin^2t)*sqrt(2)*cos tdt = intsqrt(2)*sqrt(1-sin^2t)*sqrt(2)costdt= 2*intcos^2tdt$
è un pò confusionaria la parte dei calcoli del secondo integrale... cmq più o meno ho capito
ma cosa c'è di confusionario? Ho semplicemente sostituito ad x $sqrt2 sin t$ e moltiplicato per il differenziale $sqrt(2)costdt$, il resto sono passaggi abbastanza naturali: ho raccolto 2 sotto la radice, l'ho portato fuori e ho usato l'equazione che ti ho detto
Comunque in generale ogni integranda del tipo $int sqrt(a-bx^2) dx$ (con a e b maggiori di zero) si risolve così:
si raccoglie b, per far diventare l'espressione integranda
$sqrt(a/b - x^2)$
a questo punto si fa la sostituzione
$x = sqrt(a/b)*sint -> (dx)/(dt) = sqrt(a/b)*cost$ (la radice ovviamente riguarda $a/b$, non solo a, anche se ascimathl fa sembrare che la radice sia solo al numeratore)
Sostituendo nell'integrale ottieni:
$int sqrt(a/b - x^2)dx = int sqrt(a/b - a/bsin^2t)*sqrt(a/b)*cos(t)dt = a/b int cos^2(t) dt $
si raccoglie b, per far diventare l'espressione integranda
$sqrt(a/b - x^2)$
a questo punto si fa la sostituzione
$x = sqrt(a/b)*sint -> (dx)/(dt) = sqrt(a/b)*cost$ (la radice ovviamente riguarda $a/b$, non solo a, anche se ascimathl fa sembrare che la radice sia solo al numeratore)
Sostituendo nell'integrale ottieni:
$int sqrt(a/b - x^2)dx = int sqrt(a/b - a/bsin^2t)*sqrt(a/b)*cos(t)dt = a/b int cos^2(t) dt $
"Zkeggia":
Comunque in generale ogni integranda del tipo $int sqrt(a-bx^2) dx$ (con a e b maggiori di zero) si risolve così:
si raccoglie b, per far diventare l'espressione integranda
$sqrt(a/b - x^2)$
a questo punto si fa la sostituzione
$x = sqrt(a/b)*sint -> (dx)/(dt) = sqrt(a/b)*cost$ (la radice ovviamente riguarda $a/b$, non solo a, anche se ascimathl fa sembrare che la radice sia solo al numeratore)
Sostituendo nell'integrale ottieni:
$int sqrt(a/b - x^2)dx = int sqrt(a/b - a/bsin^2t)*sqrt(a/b)*cos(t)dt = a/b int cos^2(t) dt $
grazie mille!
in effetti $x^2= 1*x^2$ e si può applicare quanto detto da te !!prenderò appunti
prego!
Per aprire e chiudere una parentesi, la sostituzione con il seno iperbolico funziona se l'integrando è nella forma [tex]$\sqrt{a^2+b^2x^2}$[/tex] (con [tex]$a,b\neq 0$[/tex]), mentre quella con il seno trigonometrico funziona se l'integrando è nella forma [tex]$\sqrt{a^2-b^2x^2}$[/tex] ([tex]$a$[/tex], [tex]$b$[/tex] come sopra).
Ciò dipende dalle relazioni che legano seno e coseno trigonometrici ed iperbolici, cioè:
[tex]$\cos^2 t=1-\sin^2 t$[/tex] e [tex]$\cosh^2 t=1+\sinh^2 t$[/tex].
Ciò dipende dalle relazioni che legano seno e coseno trigonometrici ed iperbolici, cioè:
[tex]$\cos^2 t=1-\sin^2 t$[/tex] e [tex]$\cosh^2 t=1+\sinh^2 t$[/tex].
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