Suggerimenti sulla risoluzione di questi esercizi
Ciao ragazzi, sono nuovo di questo forum. Vorrei chiedervi suggerimenti per la risoluzione dei seguenti esercizi di Analisi:
1) $f(x,y)= ln(1+x^2y^2)$
2) $\sum_{n=1}^(+infty) 1/((n+1)(2-x^2)^n)$
3) $y' +(2x)/(1-x^2)y = (1-x)^2cosx$
Se mi spiegate in dettaglio per capire ogni singolo esercizio, dato che credo di aver fatto un po' di confusione. Grazie mille!
1) $f(x,y)= ln(1+x^2y^2)$
2) $\sum_{n=1}^(+infty) 1/((n+1)(2-x^2)^n)$
3) $y' +(2x)/(1-x^2)y = (1-x)^2cosx$
Se mi spiegate in dettaglio per capire ogni singolo esercizio, dato che credo di aver fatto un po' di confusione. Grazie mille!
Risposte
La seconda, con opportune sostituzioni io l'ho vista come una serie di potenze. Il primo esercizio mi sono fermato a vedere che la matrice hessiana era nulla nei punti critici. La Terza mi sono fermato a determinare il risultato dell'omogenea associata. Non capisco però perchè non si possa chiedere aiuto a certi esercizi: se non lo si sa fare, come si fa?
"CarloB.":
La seconda, con opportune sostituzioni io l'ho vista come una serie di potenze.
Ok... E poi?
"CarloB.":
Il primo esercizio mi sono fermato a vedere che la matrice hessiana era nulla nei punti critici.
Ah, quindi di quella \(f(x,y)\) devi determinare gli estremi... Non si capiva cosa volessi farne.
Gli estremi sono liberi o vincolati in qualche compatto?
Se sono liberi, considera che il logaritmo è una funzione strettamente crescente, quindi (in un certo senso) "conserva" i massimi ed i minimi.
"CarloB.":
La Terza mi sono fermato a determinare il risultato dell'omogenea associata.
Cosa sensata, ma potevi scegliere una strada più semplice.
Infatti, dividendo tutto per \(1-x^2\), la EDO si riscrive:
\[
\left( \frac{1}{1-x^2}\ y(x)\right)^\prime = \cos x
\]
e si risolve per quadrature (cioé integrando indefinitamente).
"CarloB.":
Non capisco però perchè non si possa chiedere aiuto a certi esercizi: se non lo si sa fare, come si fa?
Ci si sforza di fare qualcosa e si posta sul forum almeno un tentativo, anche non riuscito, ma partorito secondo una logica.
In questo modo chi ha voglia di rispondere non rischia di sprecare fiumi di caratteri in un post inutile, che non risolve i tuoi veri problemi.
"gugo82":
[quote="CarloB."]La seconda, con opportune sostituzioni io l'ho vista come una serie di potenze.
Ok... E poi?
"CarloB.":
Il primo esercizio mi sono fermato a vedere che la matrice hessiana era nulla nei punti critici.
Ah, quindi di quella \(f(x,y)\) devi determinare gli estremi... Non si capiva cosa volessi farne.
Gli estremi sono liberi o vincolati in qualche compatto?
Se sono liberi, considera che il logaritmo è una funzione strettamente crescente, quindi (in un certo senso) "conserva" i massimi ed i minimi.
"CarloB.":
La Terza mi sono fermato a determinare il risultato dell'omogenea associata.
Cosa sensata, ma potevi scegliere una strada più semplice.
Infatti, dividendo tutto per \(1-x^2\), la EDO si riscrive:
\[
\left( \frac{1}{1-x^2}\ y(x)\right)^\prime = \cos x
\]
e si risolve per quadrature (cioé integrando indefinitamente).
"CarloB.":
Non capisco però perchè non si possa chiedere aiuto a certi esercizi: se non lo si sa fare, come si fa?
Ci si sforza di fare qualcosa e si posta sul forum almeno un tentativo, anche non riuscito, ma partorito secondo una logica.
In questo modo chi ha voglia di rispondere non rischia di sprecare fiumi di caratteri in un post inutile, che non risolve i tuoi veri problemi.[/quote]
Sinceramente nella EDO non capisco perchè hai fatto questo passaggio. Puoi essere più dettagliato?
Il passaggio l'ho fatto perché sono riuscito a riconoscere "a occhio" che la divisione di entrambi i membri della EDO per uno dei fattori che figurava al secondo membro (cioé \(1-x^2\)) semplificava di mooolto le cose.
Sono doti che si affinano facendo esercizi e cercando alternative ai metodi standard.
Ad ogni buon conto, parti dalla tua EDO:
\[
y^\prime (x) + \frac{2x}{1-x^2}\ y(x) = (1-x^2)\ \cos x\; ,
\]
e nota che al numeratore del coefficiente di \(y(x)\) c'è la derivata del denominatore, sicché tutto il coefficiente della \(y(x)\) rassomiglia ad una derivata; se non facessi alcunché, il coefficiente di \(y(x)\) sarebbe la derivata di \(-\ln |1-x^2|\), ma ciò non ti aiuterebbe granché, perché non semplifica in alcun modo il primo membro (davanti ad \(y^\prime (x)\) non c'è nulla che "faccia gioco").
D'altra parte, dividendo per \(1-x^2\) ambo i membri ottieni la EDO equivalente:
\[
\frac{1}{1-x^2}\ y^\prime (x) + \frac{2x}{(1-x^2)^2}\ y(x) =\cos x\; ;
\]
anche qui il coefficiente di \(y(x)\) assomiglia ad una derivata e, precisamente è la derivata di \(\frac{1}{1-x^2}\) che (guarda un po' il caso!) è proprio il coefficiente di \(y^\prime (x)\); ma allora puoi riscrivere tutto come:
\[
\frac{1}{1-x^2}\ y^\prime (x) + \left( \frac{1}{1-x^2}\right)^\prime\ y(x) = \cos x
\]
ossia, tenendo presente la regola di derivazione del prodotto, come:
\[
\left( \frac{1}{1-x^2}\ y(x)\right)^\prime = \cos x\; .
\]
Questa è una EDO del tutto equivalente a quella assegnata ed è di più facile soluzione: infatti, introducendo la variabile ausiliaria:
\[
u(x) := \frac{1}{1-x^2}\ y(x)\; ,
\]
si vede che la nuova EDO è del tipo:
\[
u^\prime (x) = \cos x
\]
e che si risolve calcolando le primitive del coseno, cioé integrando indefinitamente il secondo membro.
Ma allora \(u(x) = \sin x +C\) e dunque, sostituendo a ritroso, trovi finalmente:
\[
y(x) = (1-x^2)\ (\sin x +C)\; .
\]
Sono doti che si affinano facendo esercizi e cercando alternative ai metodi standard.
Ad ogni buon conto, parti dalla tua EDO:
\[
y^\prime (x) + \frac{2x}{1-x^2}\ y(x) = (1-x^2)\ \cos x\; ,
\]
e nota che al numeratore del coefficiente di \(y(x)\) c'è la derivata del denominatore, sicché tutto il coefficiente della \(y(x)\) rassomiglia ad una derivata; se non facessi alcunché, il coefficiente di \(y(x)\) sarebbe la derivata di \(-\ln |1-x^2|\), ma ciò non ti aiuterebbe granché, perché non semplifica in alcun modo il primo membro (davanti ad \(y^\prime (x)\) non c'è nulla che "faccia gioco").
D'altra parte, dividendo per \(1-x^2\) ambo i membri ottieni la EDO equivalente:
\[
\frac{1}{1-x^2}\ y^\prime (x) + \frac{2x}{(1-x^2)^2}\ y(x) =\cos x\; ;
\]
anche qui il coefficiente di \(y(x)\) assomiglia ad una derivata e, precisamente è la derivata di \(\frac{1}{1-x^2}\) che (guarda un po' il caso!) è proprio il coefficiente di \(y^\prime (x)\); ma allora puoi riscrivere tutto come:
\[
\frac{1}{1-x^2}\ y^\prime (x) + \left( \frac{1}{1-x^2}\right)^\prime\ y(x) = \cos x
\]
ossia, tenendo presente la regola di derivazione del prodotto, come:
\[
\left( \frac{1}{1-x^2}\ y(x)\right)^\prime = \cos x\; .
\]
Questa è una EDO del tutto equivalente a quella assegnata ed è di più facile soluzione: infatti, introducendo la variabile ausiliaria:
\[
u(x) := \frac{1}{1-x^2}\ y(x)\; ,
\]
si vede che la nuova EDO è del tipo:
\[
u^\prime (x) = \cos x
\]
e che si risolve calcolando le primitive del coseno, cioé integrando indefinitamente il secondo membro.
Ma allora \(u(x) = \sin x +C\) e dunque, sostituendo a ritroso, trovi finalmente:
\[
y(x) = (1-x^2)\ (\sin x +C)\; .
\]
"gugo82":
Il passaggio l'ho fatto perché sono riuscito a riconoscere "a occhio" che la divisione di entrambi i membri della EDO per uno dei fattori che figurava al secondo membro (cioé \( 1-x^2 \)) semplificava di mooolto le cose.
Sono doti che si affinano facendo esercizi e cercando alternative ai metodi standard.
Ad ogni buon conto, parti dalla tua EDO:
\[ y^\prime (x) + \frac{2x}{1-x^2}\ y(x) = (1-x^2)\ \cos x\; , \]
e nota che al numeratore del coefficiente di \( y(x) \) c'è la derivata del denominatore, sicché tutto il coefficiente della \( y(x) \) rassomiglia ad una derivata; se non facessi alcunché, il coefficiente di \( y(x) \) sarebbe la derivata di \( -\ln |1-x^2| \), ma ciò non ti aiuterebbe granché, perché non semplifica in alcun modo il primo membro (davanti ad \( y^\prime (x) \) non c'è nulla che "faccia gioco").
D'altra parte, dividendo per \( 1-x^2 \) ambo i membri ottieni la EDO equivalente:
\[ \frac{1}{1-x^2}\ y^\prime (x) + \frac{2x}{(1-x^2)^2}\ y(x) =\cos x\; ; \]
anche qui il coefficiente di \( y(x) \) assomiglia ad una derivata e, precisamente è la derivata di \( \frac{1}{1-x^2} \) che (guarda un po' il caso!) è proprio il coefficiente di \( y^\prime (x) \); ma allora puoi riscrivere tutto come:
\[ \frac{1}{1-x^2}\ y^\prime (x) + \left( \frac{1}{1-x^2}\right)^\prime\ y(x) = \cos x \]
ossia, tenendo presente la regola di derivazione del prodotto, come:
\[ \left( \frac{1}{1-x^2}\ y(x)\right)^\prime = \cos x\; . \]
Questa è una EDO del tutto equivalente a quella assegnata ed è di più facile soluzione: infatti, introducendo la variabile ausiliaria:
\[ u(x) := \frac{1}{1-x^2}\ y(x)\; , \]
si vede che la nuova EDO è del tipo:
\[ u^\prime (x) = \cos x \]
e che si risolve calcolando le primitive del coseno, cioé integrando indefinitamente il secondo membro.
Ma allora \( u(x) = \sin x +C \) e dunque, sostituendo a ritroso, trovi finalmente:
\[ y(x) = (1-x^2)\ (\sin x +C)\; . \]
Guarda che la traccia era:
\[ y^\prime (x) + \frac{2x}{1-x^2}\ y(x) = (1-x)^2\ \cos x\; , \]
e non:
\[ y^\prime (x) + \frac{2x}{1-x^2}\ y(x) = (1-x^2)\ \cos x\; , \]
Pertanto la soluzione proposta non credo vada bene
Salve ragazzi. Vorrei chiedere suggerimenti e dritte sullo svolgimenti di questi esercizi:
1) Classificare i punti stazionari della funzione:
$f(x,y)=$ $(x^2y^3)/(x^4y^4 + 1)$
Allora io ho svolto le derivate prima rispetto ad x ed y e mi sono trovato:
$f_x=$ $(2xy^3(x^4y^4+1)-4x^3y^4(x^2y^3))/(x^4y^4+1)^2$
$f_y=$ $(3x^2y^2(x^4y^4+1)-4x^4y^3(x^2y^3))/(x^4y^4+1)^2$
Le ho poste a sistema entrambe uguale a zero per trovarmi i punti critici:
$\{((2xy^3(x^4y^4+1)-4x^3y^4(x^2y^3))/(x^4y^4+1)^2=0),((3x^2y^2(x^4y^4+1)-4x^4y^3(x^2y^3))/(x^4y^4+1)^2=0):}$
Ho svolto quindi i calcoli ottenendo:
$\{((8xy^3-2x^5y^7)/(x^4y^4+1)^2=0),((12y^2x^2-y^6x^6)/(x^4y^4+1)^2=0):}$
Da cui:
$\{(8xy^3-2x^5y^7=0),(12y^2x^2-y^6x^6=0):}$
Dalla prima:
$2xy^3(4-x^4y^4)=0$ da cui $2xy^3=0$ quindi $x=0$ oppure $y=0$
Sostituisco nella seconda:
$x^2y^2(12-x^4y^4)=0$ ottenendo che se $x=0$ allora $y=k$ se $y=0$ allora $x=k$ quindi come punti stazionari ho $A(k,0)$ e $B(0,k)$ con $k$ $in$ $RR$
Mentre sempre dalla prima $(4-x^4y^4)=0$ da cui $x^2=$ $+-$ $2/y^2$ che sostituendo nella seconda equazione ottengo:
$+-$ $2/y^2y^2(12-4)=0$ da cui $16=0$ quindi impossibile.
Le mie domande sono: sono corretti i punti critici trovati in questo modo? Non sto qui a farvi le derivate seconde che sono lunghissime (tra l'altro il determinante della matrice hessiana dovrebbe venire nullo): come potevo classificare questi punti critici (ammesso che siano corretti)?
2) Risolvi il seguente problema di Cauchy:
$\{(y''=2y^3),(y(0)=1),(y'(0)=1):}$
Io ho banalmente integrato due volte l'equazione differenziale (a proposito di che tipo è?) ottentendo:
$y'=2*1/4y^4+c_1$ quindi $y'=1/2y^4+c_1$
$y''=1/2*1/5y^5+c_1y+c_2$ quindi $y''=1/10y^5+c_1y+c_2$
Sostituendo le condizioni del problema di Cauchy assegnato mi trovo:
$c_1=1$ e $c_2=1$
quindi: $y(x)= 1/10y5+y+1$
Domanda: ho fatto un erroraccio (ho questo sentore). Se sì, qualcuno mi può spiegare come posso svolgerla?
3) Determinare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza totale della serie:
$\sum_{n=1}^(+infty) x/n e^(nx)$
a me è venuto da pensare solo criterio della radice, il limite insiste solo sull'esponenziale essendo di ordine maggiore. Ma poi nada de nada. Suggerimenti?
Grazie a tutti!
1) Classificare i punti stazionari della funzione:
$f(x,y)=$ $(x^2y^3)/(x^4y^4 + 1)$
Allora io ho svolto le derivate prima rispetto ad x ed y e mi sono trovato:
$f_x=$ $(2xy^3(x^4y^4+1)-4x^3y^4(x^2y^3))/(x^4y^4+1)^2$
$f_y=$ $(3x^2y^2(x^4y^4+1)-4x^4y^3(x^2y^3))/(x^4y^4+1)^2$
Le ho poste a sistema entrambe uguale a zero per trovarmi i punti critici:
$\{((2xy^3(x^4y^4+1)-4x^3y^4(x^2y^3))/(x^4y^4+1)^2=0),((3x^2y^2(x^4y^4+1)-4x^4y^3(x^2y^3))/(x^4y^4+1)^2=0):}$
Ho svolto quindi i calcoli ottenendo:
$\{((8xy^3-2x^5y^7)/(x^4y^4+1)^2=0),((12y^2x^2-y^6x^6)/(x^4y^4+1)^2=0):}$
Da cui:
$\{(8xy^3-2x^5y^7=0),(12y^2x^2-y^6x^6=0):}$
Dalla prima:
$2xy^3(4-x^4y^4)=0$ da cui $2xy^3=0$ quindi $x=0$ oppure $y=0$
Sostituisco nella seconda:
$x^2y^2(12-x^4y^4)=0$ ottenendo che se $x=0$ allora $y=k$ se $y=0$ allora $x=k$ quindi come punti stazionari ho $A(k,0)$ e $B(0,k)$ con $k$ $in$ $RR$
Mentre sempre dalla prima $(4-x^4y^4)=0$ da cui $x^2=$ $+-$ $2/y^2$ che sostituendo nella seconda equazione ottengo:
$+-$ $2/y^2y^2(12-4)=0$ da cui $16=0$ quindi impossibile.
Le mie domande sono: sono corretti i punti critici trovati in questo modo? Non sto qui a farvi le derivate seconde che sono lunghissime (tra l'altro il determinante della matrice hessiana dovrebbe venire nullo): come potevo classificare questi punti critici (ammesso che siano corretti)?
2) Risolvi il seguente problema di Cauchy:
$\{(y''=2y^3),(y(0)=1),(y'(0)=1):}$
Io ho banalmente integrato due volte l'equazione differenziale (a proposito di che tipo è?) ottentendo:
$y'=2*1/4y^4+c_1$ quindi $y'=1/2y^4+c_1$
$y''=1/2*1/5y^5+c_1y+c_2$ quindi $y''=1/10y^5+c_1y+c_2$
Sostituendo le condizioni del problema di Cauchy assegnato mi trovo:
$c_1=1$ e $c_2=1$
quindi: $y(x)= 1/10y5+y+1$
Domanda: ho fatto un erroraccio (ho questo sentore). Se sì, qualcuno mi può spiegare come posso svolgerla?
3) Determinare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza totale della serie:
$\sum_{n=1}^(+infty) x/n e^(nx)$
a me è venuto da pensare solo criterio della radice, il limite insiste solo sull'esponenziale essendo di ordine maggiore. Ma poi nada de nada. Suggerimenti?
Grazie a tutti!
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