Successoni
Salve a tutti,
premetto di aver già cercato nel sito risposte in merito all'argomento, ma non ho trovato nulla.
Il problema è il seguente, sto cercando di dimostrare il seguente teorema "Ogni successione ha un'estratta monotona", ma non so come fare. Intuitivamente ciò che mi viene in mente è che restringendo la successione posso ottenere un'estratta strettamente crescente, ad esempio la successione (-1)^n se ristretta a n = 2k ha limite ed è crescente, ma come faccio a generalizzarlo? E poi, è sempre possibile?
Grazie in anticipo per le risposte!
premetto di aver già cercato nel sito risposte in merito all'argomento, ma non ho trovato nulla.
Il problema è il seguente, sto cercando di dimostrare il seguente teorema "Ogni successione ha un'estratta monotona", ma non so come fare. Intuitivamente ciò che mi viene in mente è che restringendo la successione posso ottenere un'estratta strettamente crescente, ad esempio la successione (-1)^n se ristretta a n = 2k ha limite ed è crescente, ma come faccio a generalizzarlo? E poi, è sempre possibile?
Grazie in anticipo per le risposte!
Risposte
Ti do un suggerimento (fondamentale): esiste un bellissimo teorema:
Teorema di Bolzano-Weierstrass
Ogni insieme infinito e limitato ammette almeno un punto di accumulazione.
È dall'esistenza di questo punto che puoi 'costruire' una sottosuccessione.
Sia $a$ il punto di accumulazione e $I_1(a, r)$ un suo intorno di raggio r. Esisterà certamente un elemento $a_{n_{1}}$ della successione che vi appartiene. Analogamente in $I_2(a, r/2)$ posso pigliare un $a_{n_{2}}$ che non appartiene a $I_1$ (per assicurarci che non sia lo stesso elemento).Quindi per ogni intorno (che diventa sempre più piccolo perché divido il raggio per k) posso pigliare sempre individuare un elemento della sottosuccessione che sarà $a_{n_{k}}$
Così facendo, posso determinare una sottosuccessione di elementi di $(a_n)_{n\in NN}$.
Teorema di Bolzano-Weierstrass
Ogni insieme infinito e limitato ammette almeno un punto di accumulazione.
È dall'esistenza di questo punto che puoi 'costruire' una sottosuccessione.
Sia $a$ il punto di accumulazione e $I_1(a, r)$ un suo intorno di raggio r. Esisterà certamente un elemento $a_{n_{1}}$ della successione che vi appartiene. Analogamente in $I_2(a, r/2)$ posso pigliare un $a_{n_{2}}$ che non appartiene a $I_1$ (per assicurarci che non sia lo stesso elemento).Quindi per ogni intorno (che diventa sempre più piccolo perché divido il raggio per k) posso pigliare sempre individuare un elemento della sottosuccessione che sarà $a_{n_{k}}$
Così facendo, posso determinare una sottosuccessione di elementi di $(a_n)_{n\in NN}$.
Ti ringrazio per la risposta e mi scuso per la mia stoltezza, purtroppo però non ho colto il suggerimento..
Mi è chiaro il meccanismo del 'crearsi una sottosuccessione tramite il punto di accumulazione', ma non capisco perché questa sia monotona (sul convergente ci sono, credo, si tratta di applicare la definizione di limite giusto? stando in un intorno del punto di accumulazione quella sottosuccessione tenderà al valore della successione nel punto di accumulazione, è esatto?).
Ti sono grata per la disponibilità (e ti ringrazio in anticipo per la pazienza).
Mi è chiaro il meccanismo del 'crearsi una sottosuccessione tramite il punto di accumulazione', ma non capisco perché questa sia monotona (sul convergente ci sono, credo, si tratta di applicare la definizione di limite giusto? stando in un intorno del punto di accumulazione quella sottosuccessione tenderà al valore della successione nel punto di accumulazione, è esatto?).
Ti sono grata per la disponibilità (e ti ringrazio in anticipo per la pazienza).
....
....
....
Ah sì, ora è chiarissimo! Avevo sbagliato a scrivere la catena di disequazioni (che tonta 
).
Grazie mille!
).Grazie mille!
Occhio black magic. Ad essere precisi cio che dici non è vero.
Innanzitutto i punti di accumulazione possono essere a destra di a (o anche la successione può essere costante).
Poi se la sottosuccessione è maggiore di una successione crescente, non è detto che sia crescente anche quella.
@TheRoves Questo link ha una dimostrazione diretta di cio che cerchi.
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Teorema ... eierstrass
Innanzitutto i punti di accumulazione possono essere a destra di a (o anche la successione può essere costante).
Poi se la sottosuccessione è maggiore di una successione crescente, non è detto che sia crescente anche quella.
@TheRoves Questo link ha una dimostrazione diretta di cio che cerchi.
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Teorema ... eierstrass
"DajeForte":
Occhio black magic. Ad essere precisi cio che dici non è vero.
Innanzitutto i punti di accumulazione possono essere a destra di a (o anche la successione può essere costante).
Poi se la sottosuccessione è maggiore di una successione crescente, non è detto che sia crescente anche quella.
@TheRoves Questo link ha una dimostrazione diretta di cio che cerchi.
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Teorema ... eierstrass
Sono d'accordo con te, volevo semplificare un po' le cose, ora correggo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo