Successioni sommabili

[salvozungri]

Buongiorno a tutti voi.
Ho da proporvi un quesito che mi logora da un po', pensavo di risolverlo da solo, ma ahimè non ci son riuscito. .
Domanda:
Esiste una successione di numeri reali ${a_n}_{n\in NN}$ tale che: $\sum_{n=1}^\infty a_n=L!=+-\infty$ ma $\sum_{n=1}^\inftya_n^3$ diverge?

Ho escluso le successioni le cui serie convergono assolutamente, ma per le altre?

[salvozungri]

Soluzione proposta da Gebegb

Ho pensato ad una successione a termini alterni che verifica la condizione.
Dividiamo la successione $a_n$ in blocchi.
Il primo blocco $B_1 : (a_1, a_2)$ ha due termini.
Il secondo blocco $B_2 (a_3, a_4 , a_5 )$ ha tre termini.
Il terzo blocco $B_3 (a_6, a_7 , a_8, a_9)$ ha quattro termini.
...
Il blocco $B_m ( a_((m/2)(m+1)) , ... , a_ ( ((m+1)/2)(m+2) -1) )$ ha m+1 termini.

Il generico blocco $B_m$ è così definito:
il primo termine è $m^(-1/3)$
gli altri m termini successivi sono $-m^(-4/3)$

La somma dei termini del blocco $B_m " è " : m^(-1/3) -m*m^(-4/3) = 0$.

Quindi è facile vedere che la serie degli $a_n$ converge a $0$ perchè le somme parziali n-esime sono minori di $m^(-1/3)$ se si prende:
$n > (m/2)(m+1)$

Chiamiamo $(B_m)^3$ il vettore che si ottiene da $B_m$ prendendo il cubo dei suoi elementi.
Il primo termine di $(B_m)^3$ è $1/m$.
Gli altri m sono $-1/ (m^4)$.

Pertanto la somma dei termini del blocco $(B_m)^3 " è ": 1/m - 1/(m^3)$
Adesso è chiaro che la somma degli $(a_n)^3$ corrisponde alla somma delle somme delle componenti dei $(B_m)^3$ e questa diverge.

Credo funzioni, no?

[Gaal Dornick]

Wow, c'ho perso un po' la testa quando pubblicasti il topic, ma senza successo..
In effetti era ovvio che la soluzione dovesse essere di questo tipo, ma non m'andava (leggi pigrizia) di mettermi a fare i conti..
E quindi ho rinunciato.
Non riesco a capire: $a_n=1/n$?

E ora, come generalizziamo ad esponenti naturali?

[salvozungri]

Guarda non dirlo a me... Ci ho lottato notte e giorno ma non ci cavavo nulla. Tra l'altro la cosa grave è che non mi sono mai posto queste domande e poi quando te le fanno rimani
Più o meno la successione è questa:

$b_1:(a_1= 1, a_2= -1)$
$b_2:(a_3= (1/2)^(1/3), a_4=-(1/2)^(4/3), a_5= -(1/2)^(4/3))$
$b_m:(a_((m/2)(m+1))= m^(-1/3),..., a_{((m+1)/2)(m+2)-1}= -m^(-4/3))$

L'ho trovata una soluzione davvero bellina ecco perchè l'ho postata.