Successioni ricorsive
salve ragazzi, ho un dubbio sulle famose successioni ricorsive. vi posto l'esercizio:
$ a0=1; $
$ a(n+1)=sqrt(6+a(n)) ; $
intanto ho cominciato con il dominio ottenendo che la legge è definita per $ a(n) >= -6 ; $ . adesso pongo $ f(t)= sqrt(6+t) $ e $ g(t)= sqrt(6+t) - t $ .
adesso pongo $ g(t) >= 0 $ ottenendo così i punti fissi che sono, a meno di errori, -2 e +3.
studio adesso la f(t) e ne traccio il grafico. ho scoperto, della f(t), che la derivata prima è sempre positiva (dunque funzione sempre crescente) e che la derivata seconda è sempre negativa. ho fatto il limite per t che tende a infinito e la funzione tende a infinito. adesso, per scoprire dove converge la funzione io faccio così (non so se è giusto ma se procedo così mi risultano sempre gli esercizi):
per f definita in $ [-6;-2] $ essa ha valori in $ [0;2] $
per f definita in ]-2;3[ essa ha valori in ]2;3[
per f definita in $ [3;oo ] $ ha valori in $ [3;oo ] $
dunque essendo che nell'ultimo caso la f(t) viene definita ed ha valori negli stessi intervalli allora il limite è più infinito (poichè nei punti fissi a destra di 3 la g(t) va a più infinito).
ora so che mi direte che il procedimento è sbagliato, dunque io vi chiedo di farmi capire come devo concludere per capire dove la successione converge. solo capire, se c'è il metodo. ho seguito le altre guide sulle successioni ricorsive ma ho visto un intervento di gugo dove spiegava molto bene il procedimento ma non concludeva la discussione (cioè proprio quando si doveva stabilire a cosa converge la successione). fatemi luce su quest'argomento perchè torno a ripetere solo la parte finale mi frega dal punto di vista logico. il resto l'ho capito. detto questo vi prego di aiutarmi anche su un integrale definito che avevo postato (ecco il link https://www.matematicamente.it/forum/int ... 69767.html)
grazie!
$ a0=1; $
$ a(n+1)=sqrt(6+a(n)) ; $
intanto ho cominciato con il dominio ottenendo che la legge è definita per $ a(n) >= -6 ; $ . adesso pongo $ f(t)= sqrt(6+t) $ e $ g(t)= sqrt(6+t) - t $ .
adesso pongo $ g(t) >= 0 $ ottenendo così i punti fissi che sono, a meno di errori, -2 e +3.
studio adesso la f(t) e ne traccio il grafico. ho scoperto, della f(t), che la derivata prima è sempre positiva (dunque funzione sempre crescente) e che la derivata seconda è sempre negativa. ho fatto il limite per t che tende a infinito e la funzione tende a infinito. adesso, per scoprire dove converge la funzione io faccio così (non so se è giusto ma se procedo così mi risultano sempre gli esercizi):
per f definita in $ [-6;-2] $ essa ha valori in $ [0;2] $
per f definita in ]-2;3[ essa ha valori in ]2;3[
per f definita in $ [3;oo ] $ ha valori in $ [3;oo ] $
dunque essendo che nell'ultimo caso la f(t) viene definita ed ha valori negli stessi intervalli allora il limite è più infinito (poichè nei punti fissi a destra di 3 la g(t) va a più infinito).
ora so che mi direte che il procedimento è sbagliato, dunque io vi chiedo di farmi capire come devo concludere per capire dove la successione converge. solo capire, se c'è il metodo. ho seguito le altre guide sulle successioni ricorsive ma ho visto un intervento di gugo dove spiegava molto bene il procedimento ma non concludeva la discussione (cioè proprio quando si doveva stabilire a cosa converge la successione). fatemi luce su quest'argomento perchè torno a ripetere solo la parte finale mi frega dal punto di vista logico. il resto l'ho capito. detto questo vi prego di aiutarmi anche su un integrale definito che avevo postato (ecco il link https://www.matematicamente.it/forum/int ... 69767.html)
grazie!
Risposte
Abbiamo:
[tex]$\begin{cases} a_{n+1}=\sqrt{a_n+6} \\ a_0=1\end{cases}$[/tex].
Proviamo a calcolare i primi termini della successione:
[tex]$a_0=1$[/tex], [tex]$a_1=\sqrt{7}\approx 2.646$[/tex], [tex]$a_2=\sqrt{6+\sqrt{7}\ } \approx 2.94$[/tex], [tex]$a_3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{7}\ }\ } \approx 2.99$[/tex]...
Quanto trovato induce a supporre che la successione [tex]$(a_n)$[/tex] sia strettamente crescente e compresa tra [tex]$]0,3[$[/tex], quindi cerchiamo di provare questo fatto per induzione.
La base dell'induzione ce l'abbiamo, giacché [tex]$0 < a_0 < a_1 < a_2 < a_3 < 3$[/tex].
Per il passo induttivo procediamo così: innanzitutto notiamo che è evidente che [tex]$a_n > 0$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex] (la radice è una funzione positiva); mostriamo ora che se [tex]$a_n < 3$[/tex] allora anche [tex]$a_{n+1} < 3$[/tex]: invero si ha:
[tex]$a_n < 3 \quad \Rightarrow \quad a_n+6 < 9 \quad \Rightarrow \quad a_{n+1} = \sqrt{a_n+6} < 3$[/tex],
e ciò è quanto volevamo; ora dimostriamo che [tex]$(a_n)$[/tex] cresce strettamente: abbiamo:
[tex]$a_{n+1} > a_n \quad \Leftrightarrow \quad a_n + 6 > a_n^2 \quad \Leftrightarrow \quad a_n^2 - a_n - 6 < 0$[/tex]
e l'ultima relazione è soddisfatta se e solo se [tex]$-2 < a_n < 3$[/tex]; ma per ipotesi induttiva si ha [tex]$0 < a_n < 3$[/tex], quindi tutto funziona e la nostra successione è strettamente crescente.
Visto che la successione è crescente e limitata essa converge e si ha:
[tex]$0 \leq \lim_n a_n \leq 3$[/tex];
ma, detto [tex]$l$[/tex] il limite della successione [tex]$(a_n)$[/tex], esso deve soddisfare la relazione [tex]$l = \sqrt{l + 6}$[/tex] e le limitazioni [tex]$0 \leq l \leq 3$[/tex]; visto che le uniche soluzioni dell'equazione [tex]$l = \sqrt{l + 6}$[/tex] sono [tex]$l = 3,\ +\infty$[/tex], l'unico valore che soddisfa le limitazioni richieste è [tex]$l = 3$[/tex]: pertanto [tex]$\lim_n a_n = 3$[/tex].
[tex]$\begin{cases} a_{n+1}=\sqrt{a_n+6} \\ a_0=1\end{cases}$[/tex].
Proviamo a calcolare i primi termini della successione:
[tex]$a_0=1$[/tex], [tex]$a_1=\sqrt{7}\approx 2.646$[/tex], [tex]$a_2=\sqrt{6+\sqrt{7}\ } \approx 2.94$[/tex], [tex]$a_3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{7}\ }\ } \approx 2.99$[/tex]...
Quanto trovato induce a supporre che la successione [tex]$(a_n)$[/tex] sia strettamente crescente e compresa tra [tex]$]0,3[$[/tex], quindi cerchiamo di provare questo fatto per induzione.
La base dell'induzione ce l'abbiamo, giacché [tex]$0 < a_0 < a_1 < a_2 < a_3 < 3$[/tex].
Per il passo induttivo procediamo così: innanzitutto notiamo che è evidente che [tex]$a_n > 0$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex] (la radice è una funzione positiva); mostriamo ora che se [tex]$a_n < 3$[/tex] allora anche [tex]$a_{n+1} < 3$[/tex]: invero si ha:
[tex]$a_n < 3 \quad \Rightarrow \quad a_n+6 < 9 \quad \Rightarrow \quad a_{n+1} = \sqrt{a_n+6} < 3$[/tex],
e ciò è quanto volevamo; ora dimostriamo che [tex]$(a_n)$[/tex] cresce strettamente: abbiamo:
[tex]$a_{n+1} > a_n \quad \Leftrightarrow \quad a_n + 6 > a_n^2 \quad \Leftrightarrow \quad a_n^2 - a_n - 6 < 0$[/tex]
e l'ultima relazione è soddisfatta se e solo se [tex]$-2 < a_n < 3$[/tex]; ma per ipotesi induttiva si ha [tex]$0 < a_n < 3$[/tex], quindi tutto funziona e la nostra successione è strettamente crescente.
Visto che la successione è crescente e limitata essa converge e si ha:
[tex]$0 \leq \lim_n a_n \leq 3$[/tex];
ma, detto [tex]$l$[/tex] il limite della successione [tex]$(a_n)$[/tex], esso deve soddisfare la relazione [tex]$l = \sqrt{l + 6}$[/tex] e le limitazioni [tex]$0 \leq l \leq 3$[/tex]; visto che le uniche soluzioni dell'equazione [tex]$l = \sqrt{l + 6}$[/tex] sono [tex]$l = 3,\ +\infty$[/tex], l'unico valore che soddisfa le limitazioni richieste è [tex]$l = 3$[/tex]: pertanto [tex]$\lim_n a_n = 3$[/tex].
dunque tu sfrutti il fatto che an è limitata. in seguito tu lo dimostri giustamente per induzione. dimostri che è crescente e dunque è monotona e limitata. questo ci permetti di affermare che ha limite, dunque affermi che il limite della funzione è il sup. detto questo non ti rimane che capire chi è il sup (tra 3 e infinito) e scopri che è 3. giusto?ho capito il procedimento?
altra successione per vedere se ho capito:
$ a(0)=0 $
$ a(n+1)=4/(4-a(n)) $
sostituendo un paio di valori noto che la successione è limitata, poichè assume sempre il valore di 4/3. lo dimostro per induzione infatti sapendo che per qualche n funzione impongo che funzioni per a(n) e dunque per a(n+1). infatti mi viene che sia a(n) che a(n+1) sono minori di 2. nello stesso tempo a(n) è compresa tra 0 e 2. a questo punto dimostro che è crescente e infatti mi viene che a(n) è sempre minore di a(n+1). so che la successione è crescente e limitata e quindi ha limite. questo è compreso tra 0 e 2. questo limite l deve verificare la condizione:
$ l=4/(4-l) $
e l'unica soluzione è l=2
la successione dunque dovrebbe convergere a 2. è giusto il ragionamento?
$ a(0)=0 $
$ a(n+1)=4/(4-a(n)) $
sostituendo un paio di valori noto che la successione è limitata, poichè assume sempre il valore di 4/3. lo dimostro per induzione infatti sapendo che per qualche n funzione impongo che funzioni per a(n) e dunque per a(n+1). infatti mi viene che sia a(n) che a(n+1) sono minori di 2. nello stesso tempo a(n) è compresa tra 0 e 2. a questo punto dimostro che è crescente e infatti mi viene che a(n) è sempre minore di a(n+1). so che la successione è crescente e limitata e quindi ha limite. questo è compreso tra 0 e 2. questo limite l deve verificare la condizione:
$ l=4/(4-l) $
e l'unica soluzione è l=2
la successione dunque dovrebbe convergere a 2. è giusto il ragionamento?
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