Successioni ricorsiva
salve a tutti
vi scrivo perchè ho un dubbio su questa successione ricorsiva:
$ a_1=k $
$ a_{n+1}=sqrt(2-a_n^2) $
ho scoperto che la funzione è limitata (per il domino) ed è compresa tra $ -sqrt(2) $ e $ sqrt(2) $ con gli estremi inclusi.
studio la crescenza tramite la derivata e scopro che la funzione cresce per $ a_n<0 $ .
arrivati a questo punto impongo che il limite deve soddisfare:
1- $ l=f(l) $
2- $ 00 $ e $ -sqrt(2)
è giusto il procedimento?grazie
vi scrivo perchè ho un dubbio su questa successione ricorsiva:
$ a_1=k $
$ a_{n+1}=sqrt(2-a_n^2) $
ho scoperto che la funzione è limitata (per il domino) ed è compresa tra $ -sqrt(2) $ e $ sqrt(2) $ con gli estremi inclusi.
studio la crescenza tramite la derivata e scopro che la funzione cresce per $ a_n<0 $ .
arrivati a questo punto impongo che il limite deve soddisfare:
1- $ l=f(l) $
2- $ 0
è giusto il procedimento?grazie
Risposte
Non va benissimo.
Il primo motivo è semplice ed è che $-1$ non può essere un limite.
Se calcoli $a_{n+1}$ con $a_n=-1$ vedi subito perchè.
A fare queste prove ci vogliono 10 secondi ed evitano degli errori sciocchi.
Secondo, dovresti avere capito ora che tutti i valori negativi vengono subito "ri-buttati" nella parte positiva, i valori negativi hanno vita breve.
Giustamente hai visto la crescenza per la parte negativa della funzione, ma non serve a molto.
Lo stratagemma da usare è fare una nuova funzione che salti 2 valori alla volta, cioè $a_1, a_3, a_5....$.
Altrimenti la successione oscilla attorno al limite e non ci si salta fuori.
Basta prendere la calcolatrice e giocare 2 minuti con questa successione per "vedere" cosa fanno i termini.
Poi come dimostrarla è un'altra cosa, però almeno bisogna aver chiaro cosa succede a quei termini.
Il primo motivo è semplice ed è che $-1$ non può essere un limite.
Se calcoli $a_{n+1}$ con $a_n=-1$ vedi subito perchè.
A fare queste prove ci vogliono 10 secondi ed evitano degli errori sciocchi.
Secondo, dovresti avere capito ora che tutti i valori negativi vengono subito "ri-buttati" nella parte positiva, i valori negativi hanno vita breve.
Giustamente hai visto la crescenza per la parte negativa della funzione, ma non serve a molto.
Lo stratagemma da usare è fare una nuova funzione che salti 2 valori alla volta, cioè $a_1, a_3, a_5....$.
Altrimenti la successione oscilla attorno al limite e non ci si salta fuori.
Basta prendere la calcolatrice e giocare 2 minuti con questa successione per "vedere" cosa fanno i termini.
Poi come dimostrarla è un'altra cosa, però almeno bisogna aver chiaro cosa succede a quei termini.
grazie della risposta...
per quanto riguarda la parte negativa l'avevo pensata questa cosa del -1 solo che siccome il -1 è un punto fisso e la funzione non diverge mi sono detto che quello (insieme a 1) dovevano essere i limiti.
per quel che riguarda l'estratta della successione potresti aiutarmi a capire meglio perchè hai fatto questa considerazione?cioè come dovrei fare per capire che devo considerare l'estratta?e perchè se non la considero la funzione oscilla attorno al limite?
un ultima richiesta: potresti postarmi in generale quello che bisogna fare per risolvere queste benedette successioni ricorsive?
grazie di nuovo
per quanto riguarda la parte negativa l'avevo pensata questa cosa del -1 solo che siccome il -1 è un punto fisso e la funzione non diverge mi sono detto che quello (insieme a 1) dovevano essere i limiti.
per quel che riguarda l'estratta della successione potresti aiutarmi a capire meglio perchè hai fatto questa considerazione?cioè come dovrei fare per capire che devo considerare l'estratta?e perchè se non la considero la funzione oscilla attorno al limite?
un ultima richiesta: potresti postarmi in generale quello che bisogna fare per risolvere queste benedette successioni ricorsive?
grazie di nuovo
La tua richiesta è legittima, però non credo che esista un procedimento "meccanico" per risolvere questi problemi.
Magari qualcuno più esperto di me che legge potrebbe consigliarti.
Il fatto che devi considerare una estratta lo vedi soprattutto graficamente, e vedi che i termini con n pari sono tutti da una parte del limite, e i dispari dall'altra.
Prova anche a vederla così:
$a_{n+2}=\sqrt{2-a_{n+1}^2}$
$a_{n+1}=\sqrt{2-a_{n}^2}$
Se sostituisco, ottengo $a_{n+2}=\sqrt{2-(2-a_{n}^2)}= a_n$
cioè $a_{n+2}=a_n$
e la successione non si muove.
Magari qualcuno più esperto di me che legge potrebbe consigliarti.
Il fatto che devi considerare una estratta lo vedi soprattutto graficamente, e vedi che i termini con n pari sono tutti da una parte del limite, e i dispari dall'altra.
Prova anche a vederla così:
$a_{n+2}=\sqrt{2-a_{n+1}^2}$
$a_{n+1}=\sqrt{2-a_{n}^2}$
Se sostituisco, ottengo $a_{n+2}=\sqrt{2-(2-a_{n}^2)}= a_n$
cioè $a_{n+2}=a_n$
e la successione non si muove.
Io non capisco perchè parlate di limite, avendo scritto $a_(n+2) = a_n$ (e sapendo che $a_(n+1)!=a_n$) l'esercizio è finito: quella successione non ammette limite per nessun valore di $k$ (a parte quando è costante).
Se $k=0$ oscilla tra i valori $0$ e $sqrt(2)$, se $|k|< sqrt(2), k!=0$ oscilla tra $sqrt(2-k^2)$ e $|k|$, se invece $k= pm sqrt(2)$ i valori sono $sqrt(2)$ e $0$.
Simpatico magari il fatto che se $k=pm 1$ la successione è costante e vale sempre $1$, di conseguenza il limite è quello.
Se $k=0$ oscilla tra i valori $0$ e $sqrt(2)$, se $|k|< sqrt(2), k!=0$ oscilla tra $sqrt(2-k^2)$ e $|k|$, se invece $k= pm sqrt(2)$ i valori sono $sqrt(2)$ e $0$.
Simpatico magari il fatto che se $k=pm 1$ la successione è costante e vale sempre $1$, di conseguenza il limite è quello.
mi dispiace ma non vi seguo...soprattutto giuly...non capisco...potresti spiegarti meglio?
Per quanto riguarda una tecnica generale per risolvere questi esercizi, non posso aiutarti.
Ma in questo caso è molto semplice, ti basta provare a scrivere al variare di $k$ cosa diventa quella successione.
Ti accorgi che se $k=0$, ${a_n}={0,sqrt(2),0,sqrt(2),0,sqrt(2),..}$, se $k=pm sqrt(2)$, ${a_n}={pm sqrt(2),0, sqrt(2), 0, sqrt(2),0,...}$, in generale per $k in [-sqrt(2),sqrt(2)]$, ${a_n}={k, sqrt(2-k^2), |k|, sqrt(2-k^2), |k|,sqrt(2-k^2), |k|,..}$.
Quando ${a_n}$ ammette limite?
Ma in questo caso è molto semplice, ti basta provare a scrivere al variare di $k$ cosa diventa quella successione.
Ti accorgi che se $k=0$, ${a_n}={0,sqrt(2),0,sqrt(2),0,sqrt(2),..}$, se $k=pm sqrt(2)$, ${a_n}={pm sqrt(2),0, sqrt(2), 0, sqrt(2),0,...}$, in generale per $k in [-sqrt(2),sqrt(2)]$, ${a_n}={k, sqrt(2-k^2), |k|, sqrt(2-k^2), |k|,sqrt(2-k^2), |k|,..}$.
Quando ${a_n}$ ammette limite?
"Giuly19":
Quando ${a_n}$ ammette limite?
quando è monotona?non riesco a capire a cosa ti riferisci
grazie della risposta
ho notato un altra cosa...quando trovo i punti fissi(-1 ed 1) e li sostituisco alla funzione questa, come hai già detto tu, oscilla tra 1 e -1...se però aggiungo il valore assoluto viene sempre 1...dunque è per questo che il limite è 1? se si come posso fare a dimostrarlo in maniera rigorosa?
Ma l'hai capita la scrittura ${a_n}={a_1,a_2,a_3,..........}$?
Ti pare mai che quella successione possa essere monotona?
Ti pare mai che quella successione possa essere monotona?
si si l'ho capita...solo che siccome ho studiato la monotonia della mia funzione (praticamente a(n+1)) e mi è venuta monotona...però è vero anche che per ogni k appartenente all'intervallo vale la cosa che hai scritto tu...
Sì e per quelli fuori da quell'intervallo semplicemente non ha senso parlare di quella successione..
Non può risultarti strettamente monotona una successione del genere, qualsiasi conto tu abbia fatto.. hai sbagliato.
Non può risultarti strettamente monotona una successione del genere, qualsiasi conto tu abbia fatto.. hai sbagliato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo