Successioni per ricorrenza (calcolo del limite)

skorpion89-votailprof
Buon pomeriggio a tutti..Innanzitutto volevo farvi i complimenti per il sito, davvero molto interessante oltre che utile.
Mi serve un chiarimento, forse su un argomento banale per molti..
Non riesco ancora a capire bene come calcolare il limite delle successioni per ricorrenza..
ad esempio se ho questa successione:
a1= 3
an+1=an log(an^2-2an)+an
devo fare semplicemente il limite tendente a +infinito di della funzione an+1 oppure devo studiare le funzione t log(t^2-2t)+t-t {con t=an}, studiandone il grafico??
per quanto riguarda questo genere di successioni si applica sempre lo stesso metodo per calcolarne il limite oppure bisogna distinguere i vari casi?
grazie anticipatamente

Risposte
Aerials_in_the_sky
"Sutekh":
ma sei sicuro? dovrebbe divergere secondo la soluzione..


guarda... lo risolvo come esercizio perchè domani ho il compito

la tua successione è:

$a_1=3$
$a_n+1=a_n$$log$$(a_n$$^2$$-2a_n)+a_n

perciò

$a_1=6,29$ c.ca
$a_2=27,01$ c.ca
ecc.

la successione è crescente.

per $a_n$ --> + infinito $a_n$=L L è il limite

si ha

$L=Llog(L^2-2L)+L$

$Llog(L^2-2L)=0$

l'equazione è valida per L=0, che scartiamo subito, in quanto la successione è crescente e per i valori per cui $log(L^2-2L)=0$

il logaritmo è 0, quando il suo argomento è =1, perciò

$L^2-2L-1=0$

editato, ho fatto un errore di calcolo.

le soluzioni sono $sqrt(2)+1$ e $-sqrt(2)+1$

ma anche questi valori sono minori del termine iniziale della successione, quindi vanno scartati.

Scusa per gli errori di calcolo che ho fatto, adesso è a posto ^^

il limite è +inifinito, perchè tutte le soluzioni sono minori del primo termine, ed essendo una successione crescente a termini positivi, non possono esserne il limite.

Comunque aspetta ad usare questo sistema che non l'hoben afferrato neanch'io...

skorpion89-votailprof
ok ora quadra l esercizio =)

Aerials_in_the_sky
"Sutekh":
ok ora quadra l esercizio =)


scusami, avevo fatto degli errori di calcolo, li ho corretti :)

skorpion89-votailprof
allora...facciamo un piccolo riassunto
quando abbiamo una qualsiasi successione definita pe ricorrenza dobbiamo:
1) vedere se è crescente (sostituendo i valori otteniamo a1,a2,a3...o meglio studiando la funzione)
2) vedere dove la $f$$(L)=0$ (con $L$$=a_n$) e possiamo trovare dei valori. Se questi valori non soddisfano le condizioni iniziali (ad esempio nel nostro caso era una successione crescente a partire dal termine $a_n$$=3$ quindi abbiamo scartato i valori che erano inferori del primo termine 3)
Nel caso che otteniamo dei valori che rispettano le nostre condizioni dobbiamo presupporre che possa essere il limite? cioè se avessimo ottenuto che la funzione si annullava per L=5 come ci saremmo dovuti comportare? dobbiamo calcolare il limite tendende al valore ottenuto?
3) calcoliamo il limite tendente a +infinito della funzione $f$$(L)$ e se da +infinito e la successione è crescente allora concludiamo che la successione diverge positivamente. Se il limite è uguale a -infinito e la successione è descrescente alloa diverge negativamente. Ma se otteniamo un valore?

Se qualcuno magari più esperto di noi su questo argomento può intervenire per fare chiarezza sarebbe l'ideale perchè cosi non penso che andiamo molto avanti con il ragionamento :S. Almeno capiamo se stiamo procedendo per la via giusta..
grz

maia86
Vorrei capire una cosa ho questa successione ricorrente
$a_o=1$
$a_(n+1)=sqrt(1+a_n^2)$
la successione mi risulta crescente
quando però sostituisco ad a_n=l mi viene

$l=sqrt(1+l^2)$
$l^2=1+l^2$
quindi non ammette soluzioni e quindi nn esiste il limite è possibile questo??

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