Successioni per ricorrenza (calcolo del limite)
Buon pomeriggio a tutti..Innanzitutto volevo farvi i complimenti per il sito, davvero molto interessante oltre che utile.
Mi serve un chiarimento, forse su un argomento banale per molti..
Non riesco ancora a capire bene come calcolare il limite delle successioni per ricorrenza..
ad esempio se ho questa successione:
a1= 3
an+1=an log(an^2-2an)+an
devo fare semplicemente il limite tendente a +infinito di della funzione an+1 oppure devo studiare le funzione t log(t^2-2t)+t-t {con t=an}, studiandone il grafico??
per quanto riguarda questo genere di successioni si applica sempre lo stesso metodo per calcolarne il limite oppure bisogna distinguere i vari casi?
grazie anticipatamente
Mi serve un chiarimento, forse su un argomento banale per molti..
Non riesco ancora a capire bene come calcolare il limite delle successioni per ricorrenza..
ad esempio se ho questa successione:
a1= 3
an+1=an log(an^2-2an)+an
devo fare semplicemente il limite tendente a +infinito di della funzione an+1 oppure devo studiare le funzione t log(t^2-2t)+t-t {con t=an}, studiandone il grafico??
per quanto riguarda questo genere di successioni si applica sempre lo stesso metodo per calcolarne il limite oppure bisogna distinguere i vari casi?
grazie anticipatamente
Risposte
per prima cosa visita qui: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
riscrivo comunque in maniera più leggibile la definizione della tua successione:
${(a_(n+1)=a_n log(a_n^2-2a_n)+a_n), (a_1=3):}$
E per quanto riguarda la soluzione, il limite che devi calcolare è effettivamente $lim_{n\to+infty}a_n$, ma di $a_n$ tu non hai una espressione esplicita. Quindi come puoi calcolarlo direttamente? In questi casi è molto utile farsi uno schemino "a ragnatela" della successione ricorsiva (se ti interessa, tempo fa scrissi una procedurina in Maple che lo fa automaticamente, vuoi che ti alleghi il listato?)
riscrivo comunque in maniera più leggibile la definizione della tua successione:
${(a_(n+1)=a_n log(a_n^2-2a_n)+a_n), (a_1=3):}$
E per quanto riguarda la soluzione, il limite che devi calcolare è effettivamente $lim_{n\to+infty}a_n$, ma di $a_n$ tu non hai una espressione esplicita. Quindi come puoi calcolarlo direttamente? In questi casi è molto utile farsi uno schemino "a ragnatela" della successione ricorsiva (se ti interessa, tempo fa scrissi una procedurina in Maple che lo fa automaticamente, vuoi che ti alleghi il listato?)
ah ecco come scrivete tutti in quella maniera :p
cmq preferirei capirlo il metodo...tra qualche giorno ho l'esame =D
ma quindi è sbagliato studiare quella funzione che ho scritto sopra?(sostituendo t ad $a_n$ e sottraendo t)
cmq preferirei capirlo il metodo...tra qualche giorno ho l'esame =D
ma quindi è sbagliato studiare quella funzione che ho scritto sopra?(sostituendo t ad $a_n$ e sottraendo t)
Non è sbagliato: devi sapere cosa stai facendo però. In questi casi (successioni ricorsive generate da funzioni continue) se la successione converge, il limite è un punto fisso della funzione generatrice. Se la successione è $a_(n+1)=Phi(a_n)$, studiano la funzione $Phi(t)-t$ puoi determinare quali siano i punti fissi, e quindi quali siano i possibili limiti di $a_n$. Nel tuo caso è molto più semplice: basta risolvere l'equazione $tlog(t^2-2t)+t=t$.
P.S.: Ora purtroppo devo andare, se più tardi nessuno ti ha fornito altre informazioni ne riparliamo.
P.S.: Ora purtroppo devo andare, se più tardi nessuno ti ha fornito altre informazioni ne riparliamo.
per punti fissi intendi gli zeri della funzione (cioè dove si annulla)?
in questo caso i punti fissi sono quindi $t= 1+$$sqrt(2)$, $t=1$$-sqrt(2)$ e $t=0$? devo adesso fare il limite di $a_n$ (oppure $a_n+1$?
) tendente a questi punti?
grazie comunque per le risposte, forse incomincio a capirci qualcosa, o perlomeno mi convinco di ciò XD
in questo caso i punti fissi sono quindi $t= 1+$$sqrt(2)$, $t=1$$-sqrt(2)$ e $t=0$? devo adesso fare il limite di $a_n$ (oppure $a_n+1$?
) tendente a questi punti? grazie comunque per le risposte, forse incomincio a capirci qualcosa, o perlomeno mi convinco di ciò XD
No no i punti fissi di una funzione $Phi$ sono le $x$ tali che $Phi(x)=x$. Quando hai una successione ricorsiva $a_(n+1)=Phi(a_n), a_0 "fissato"$, se la successione converge e $Phi$ è continua, allora il limite è necessariamente un punto fisso di $Phi$. Per le funzioni reali i punti fissi si possono trovare graficamente come intersezione tra il grafico della funzione e il grafico della funzione identica $x\mapsto x$. Ma non è il tuo caso: infatti è facile risolvere $tlog(t^2-2t)+t=t$
P.S.: Rivedi un po' la teoria... Ti consiglio per queste cose il primo volume di esercizi di Marcellini-Sbordone. C'è un capitolo sulle successioni per ricorrenza facile ma completo. Se non hai tempo non è necessario che tu lo legga tutto, però almeno le nozioni di base le devi sapere.
P.S.: Rivedi un po' la teoria... Ti consiglio per queste cose il primo volume di esercizi di Marcellini-Sbordone. C'è un capitolo sulle successioni per ricorrenza facile ma completo. Se non hai tempo non è necessario che tu lo legga tutto, però almeno le nozioni di base le devi sapere.
$uhm$ $ok$ $grazie..$
Salve a tutti, scrivo qui così evito di aprire un altro 3ad 
Il mio problema è lo stesso dell'amico qui presente, solo che la successione definita per ricorrenza di cui devo calcolare il limite è:
${(a_(n+1)=a_n + n sin(a_n)+n^2), (a_1>0):}$
se ho ben capito devo impostare $a_n=t$
e quindi risolvere l'equazione $a_(n+1) - t=0$ per trovare gli zeri della successione
ma in questo caso ci sono anche dei termini in $n^2$... come posso procedere?
Grazie
P.S: visto che bravo? E' il mio primo post e ho già imparato ad usare il vostro tool matematico ehehe
Il mio problema è lo stesso dell'amico qui presente, solo che la successione definita per ricorrenza di cui devo calcolare il limite è:
${(a_(n+1)=a_n + n sin(a_n)+n^2), (a_1>0):}$
se ho ben capito devo impostare $a_n=t$
e quindi risolvere l'equazione $a_(n+1) - t=0$ per trovare gli zeri della successione
ma in questo caso ci sono anche dei termini in $n^2$... come posso procedere?
Grazie
P.S: visto che bravo? E' il mio primo post e ho già imparato ad usare il vostro tool matematico ehehe
io ancora faccio difficoltà a scrivere in quella maniera XD
cmq se riuscite a fare una specie di "guida" su come procedere quando si hanno questo genere di successioni sarebbe l'ideale, visto che è un argomento a quanto pare semplice ma che da molte difficoltà come testimoniano i diversi post aperti..
$grazie$ =)
cmq se riuscite a fare una specie di "guida" su come procedere quando si hanno questo genere di successioni sarebbe l'ideale, visto che è un argomento a quanto pare semplice ma che da molte difficoltà come testimoniano i diversi post aperti..
$grazie$ =)
sutekh hai l'esame di analisi domani anche te???
per carità divina no =D...ce l'ho tra $2$ giorni...
e io ce l'ho domani.... comunque ho appena trovato sul sito del mio esercitatore una soluzione alternativa a quella proposta su questo sito ^^
tu sai che an e an+1 per n che tende a +infinito hanno lo stesso limite, perciò sostituisci an=L e an+1=L nella successione
la soluzione di questo polinomio dà il limite.
Ci sono dei casi in cui i limiti possono essere 2, in genere uno negativo e uno positivo, in questo caso è opportuno uno studio della successione per capire se è crescente o decrescente, in base al quale deciderai quale dei 2 limiti scartare
questo sistema funziona se il limite è finito. Se il polinomio non ha soluzioni reali il limite è infinito...
tu sai che an e an+1 per n che tende a +infinito hanno lo stesso limite, perciò sostituisci an=L e an+1=L nella successione
la soluzione di questo polinomio dà il limite.
Ci sono dei casi in cui i limiti possono essere 2, in genere uno negativo e uno positivo, in questo caso è opportuno uno studio della successione per capire se è crescente o decrescente, in base al quale deciderai quale dei 2 limiti scartare
questo sistema funziona se il limite è finito. Se il polinomio non ha soluzioni reali il limite è infinito...
ma L cos'è? un'incognita qualsiasi?
non ho caito bene cosa intendi...
non ho caito bene cosa intendi...
"Sutekh":
ma L cos'è? un'incognita qualsiasi?
non ho caito bene cosa intendi...
si è un'incognita... la chiamiamo L perchè L sta per limite
cioè ricapitolando...
se ho una successione definita dalla legge:
$a_n$$=5$
$a_n+1$$= a_n$$+3$
io in questo caso risolvo il polinomio L+3=0? e quindi ottengo L=-3? e poi..?
se ho una successione definita dalla legge:
$a_n$$=5$
$a_n+1$$= a_n$$+3$
io in questo caso risolvo il polinomio L+3=0? e quindi ottengo L=-3? e poi..?
"Sutekh":
cioè ricapitolando...
se ho una successione definita dalla legge:
$a_n$$=5$
$a_n+1$$= a_n$$+3$
io in questo caso risolvo il polinomio L+3=0? e quindi ottengo L=-3? e poi..?
no, il polinomio è
L=L+3
non ha soluzioni reali perciò tende a + infinito
comunque questa funzione è strettamente crescente, quindi tende a +infinito
altrimenti puoi trovare il termine generale, che è:
$a_n=5+3n$ e si vede chiaramente che tende a +infinito
ahh capito...forse..xD
ora faccio qualche esercizio di prova...se ho domande te le faccio qua..
ora faccio qualche esercizio di prova...se ho domande te le faccio qua..
allora...
io ho
$a_n=3$
$a_n+1=a_n$$log$$(a_n$$^2$$-2a_n)+a_n
risolvo il polinomio $L=L log (L^2$$-2L)+L$ e trovo come soluzioni $L=0$ e $L=1+sqrt(2)$ e $L=1-sqrt(2)$ giusto fino a qua?
ora cosa devo fare per calcolarne il limite?
io ho
$a_n=3$
$a_n+1=a_n$$log$$(a_n$$^2$$-2a_n)+a_n
risolvo il polinomio $L=L log (L^2$$-2L)+L$ e trovo come soluzioni $L=0$ e $L=1+sqrt(2)$ e $L=1-sqrt(2)$ giusto fino a qua?
ora cosa devo fare per calcolarne il limite?
"Sutekh":
allora...
io ho
$a_n=3$
$a_n+1=a_n$$log$$(a_n$$^2$$-2a_n)+a_n
risolvo il polinomio $L=L log (L^2$$-2L)+L$ e trovo come soluzioni $L=0$ e $L=1+sqrt(2)$ e $L=1-sqrt(2)$ giusto fino a qua?
ora cosa devo fare per calcolarne il limite?
hai tre soluzioni, una nulla, una positiva, una negativa.
La tua è una successione a termini positivi ed è crescente, perciò il limite è uno + radice di 2
edit: ho fatto i conti e a me tornano come soluzioni.
L=0 (reale) e poi 2 soluzioni complesse
da dove ti sbucano le radici?
ma sei sicuro? dovrebbe divergere secondo la soluzione..
ho sviluppato il logaritmo...quando è uguale a zero..
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