Successioni per ricorrenza.

[Be_CiccioMsn]

Salve a tutti avrei dei problemi con le successioni definite per ricorrenza. Io le risolvo ad esempio così:
${\(a_1=1/2),(a_(n+1)=1/(2-a_n)):}$
prima di tutto vedo se ci sono possibili limiti,quindi siccome $a_n\sim a_(n+1)$,li chiamo $l$ e risolvo l'equazione; in questo caso esce $l=1$ ,poi pongo $(1/(2-a_n))/a_n>0$ oppure maggiore del limite $1$? E se ho due soluzioni come faccio? Poi mi blocco.

Grazie a tutti.

[gugo82]

Ci sono diversi modi possibili.

Uno è quello di indovinare la forma elementare del termine generale della successione.

Ad esempio, facendo un paio di conti, in questo caso avevi:
\[
\begin{split}
a_1 &= \frac{1}{2}\\
a_2 &= \frac{2}{3}\\
a_3 &= \frac{3}{4}\\
a_4 &= \frac{4}{5}\\
&\ldots
\end{split}
\]
da cui riuscivi ad indovinare \(a_n=\frac{n}{n+1}\). Ed infatti si ha:
\[
\frac{1}{2-\frac{n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}
\]
sicché la successione di termine generale \(\frac{n}{n+1}\) soddisfa la relazione ricorrente; ed evidentemente allora \(\lim_n a_n =\lim_n \frac{n}{n+1} =1\).

Un altro modo, che è quello che si usa in genere, consiste in due step: 1 provare la regolarità della successione e 2 calcolarne il limite (se possibile).
In entrambi i passi si deve sfruttare in qualche modo la ricorrenza.

Il passo 1 di solito si fa provando che la successione definita per ricorrenza è monotona (dimodoché ammette limite, finito o infinito). Questo di solito è un fatto puramente tecnico e va fatto "a occhio", nel senso che in generale non si sa mai quale proprietà possa davvero essere utile per mostrare la monotonia della successione.

Il passo 2, invece, si fa con le solite tecniche: una volta che si è riusciti a dimostrare che la successione ha limite, se ne calcolano i possibili valori passando al limite la ricorrenza e poi si sceglie quello giusto (in base alle proprietà della successione acquisite al punto 1).

Analizziamo il tuo esercizio.

Passo 1 (monotonia e regolarità). Innanzitutto notiamo che la successione \(a_n\) individuata dalla ricorrenza è limitata dall'alto da \(1\), i.e. che \(\forall n\in \mathbb{N},\ a_n< 1\).
Infatti si ha \(a_1=1/2< 1\) e ciò costituisce una buona base per l'induzione; d'altra parte, supposto che \(a_n<1\) (ipotesi induttiva), si ha:
\[
a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n} \underbrace{<}_{\color{red}{\text{per } 2-a_n>1}}\frac{1}{1} =1
\]
quindi anche \(a_{n+1}<1\), come volevamo.
Ora è semplice mostrare che \(a_n\) è strettamente crescente. Infatti si ha \(a_1=1/2<2/3=a_2\) e ciò costituisce una buona base per l'induzione; d'altra parte, supponendo che \(a_nipotesi induttiva) troviamo:
\[
a_{n+2} =\frac{1}{2-a_{n+1}} \underbrace{>}_{\color{red}{\text{per } 2-a_n>2-a_{n+1}}} \frac{1}{2-a_n}=a_{n+1}
\]
quindi \(a_{n+1} [N.B.: Aver stabilito la limitatezza di \((a_n)\) ci è servito nella dimostrazione della monotonia; infatti siamo passati da \(2-a_n>2-a_{n+1}\) a \(\frac{1}{2-a_{n+1}} <\frac{1}{2-a_n}\) usando tacitamente il fatto che \(2-a_{n+1}>2-1=1>0\).]
Dalla monotonia segue inoltre che \(\forall n\in \mathbb{N},\ a_n>a_1=1/2\), sicché la tua successione verifica le limitazioni \(\forall n\in \mathbb{N},\ 1/2
Rimane così provato che la successione \((a_n)\) definita dalla tua ricorrenza è strettamente crescente e limitata; pertanto tale successione è convergente ed ha \(1/2<\lim_n a_n=:l\leq 1\).

Passo 2 (calcolo del limite). Detto \(l\) il limite della tua successione (che è finito), passando al limite ambo i membri della ricorrenza troviamo:
\[
l=\frac{1}{2-l} \quad \Leftrightarrow \quad l^2-2l+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad (l-1)^2=0
\]
quindi \(l=1\).