Successioni per ricorrenza

[Gianni911]

Ciao a tutti,
so che é gia stato trattato come argomento,ma non riguarda la soluzione di un esercizio..
Dato che, non ho ben chiaro il concetto di successione definita per ricorrenza,potreste dirmi cosa cambia dalle classiche successioni??Magari con qualche esempio se non é un problema..
Grazie

[Richard_Dedekind]

Be', la differenza fondamentale è data dal modo con cui la successione viene presentata. Una successione ordinaria è data in termini che dipendono esplicitamente dall'indice \(n\): ossia
\[a_n=f(n)\]
per una qualche funzione \(f:\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{R}\). Una successione ricorsiva invece è data in una forma che coinvolge i suoi termini precedenti:
\[a_{n+1}=f(a_n)\]
Usualmente, in questo caso viene data anche una condizione di partenza \(a_1=\alpha\), a seconda del quale le cose cambiano anche parecchio.
Diciamo che in soldoni per le prime successioni è possibile calcolare un certo termine sostituendo esplicitamente l'indice, nelle seconde invece calcolare il termine \(k\)-esimo è possibile solo calcolando i precedenti \(k-1\).
In ultima istanza, ti faccio notare che alcune volte le successioni per ricorrenza si possono scrivere in forma chiusa, ossia come successioni ordinarie. Un esempio molto semplice:
\[\begin{cases} \lambda_{n+1} = \sqrt{2+\lambda_n} \\ \lambda_1 = \sqrt{2} \end{cases}\]
che in forma chiusa si scrive
\[\lambda_n = 2\cos\left( \frac {\pi}{2^{n+1}}\right)\]
come puoi facilmente verificare per induzione. Tra l'altro, questa simpatica successione compare in una famosissima formula per il calcolo di \(\pi\). La formula di Viète si può anche scrivere come
\[\prod_{n=1}^{\infty}\,\frac{\lambda_n}{2}=\frac{\sqrt 2}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2}\cdots = \frac{2}{\pi} \]