Successioni in spazi metrici
Una successione $ x_n $ di punti di uno spazio metrico $ (X,d) $ converge ad un punto $ x_0\inX $ se $ lim_{n \to \infty}d(x_n,x_0)=0 $ ovvero se $ \forall\epsilon>0\existsn_0\inN:d(x_n,x_0)<\epsilon\foralln>n_0 $. Equivalentemente $ x_n->x_0 $ se, con $ \epsilon>0 $ ,
$ \forallB_\epsilon(x_0)\existsn_0\inN:x_n\inB_\epsilon(x_0)\foralln>n_0 $
Una successione $ x_n $ di punti di uno spazio metrico $ (X,d) $ si dice limitata se esistono $ x_0\inX $ ed $ r>0 $ tali che $ x_n\inB_r(x_0)\foralln\inN $
Prendiamo ad esempio $ R $ munito di metrica euclidea e la successione $ x_n=(-1)^n $. So che è limitata ma non riesco ad intravedere un intorno circolare di un punto di $ R $ che contenga tutti i termini che si sviluppano lungo una "striscia di lunghezza infinita a destra"
Per quanto riguarda invece la definizione di successione divergente in uno spazio metrico, avevo pensato a questa: $ \forallr>0\existsn_0\inN:d(x_n,x_0)>r\foralln>n_0 $. Può andare bene? Non è possibile distinguere il caso di divergenza a $ +\infty $ e a $ -\infty $?
$ \forallB_\epsilon(x_0)\existsn_0\inN:x_n\inB_\epsilon(x_0)\foralln>n_0 $
Una successione $ x_n $ di punti di uno spazio metrico $ (X,d) $ si dice limitata se esistono $ x_0\inX $ ed $ r>0 $ tali che $ x_n\inB_r(x_0)\foralln\inN $
Prendiamo ad esempio $ R $ munito di metrica euclidea e la successione $ x_n=(-1)^n $. So che è limitata ma non riesco ad intravedere un intorno circolare di un punto di $ R $ che contenga tutti i termini che si sviluppano lungo una "striscia di lunghezza infinita a destra"
Per quanto riguarda invece la definizione di successione divergente in uno spazio metrico, avevo pensato a questa: $ \forallr>0\existsn_0\inN:d(x_n,x_0)>r\foralln>n_0 $. Può andare bene? Non è possibile distinguere il caso di divergenza a $ +\infty $ e a $ -\infty $?
Risposte
"TS778LB":
So che è limitata ma non riesco ad intravedere un intorno circolare di un punto di $ R $ che contenga tutti i termini che si sviluppano lungo una "striscia di lunghezza infinita a destra"
0?
Si è vero, stavo dimenticandomi che la distanza in R è semplicemente il valor assoluto (e quindi la distanza del punto dall’asse orizzontale nel caso di un intorno di 0) e non la lunghezza del segmento che congiunge l’origine del riferimento col punto (come accade in R2 ed R3). Per quanto riguarda la definizione di successione divergente, va bene quella che ho scritto? Ed il motivo per cui non si distingue la divergenza positiva da quella negativa?
"TS778LB":
Non è possibile distinguere il caso di divergenza a $ +\infty $ e a $ -\infty $?
In uno spazio metrico generico, cosa vorrebbero dire queste cose?
E stai distinguendo "divergente" da "non convergente"? Per qualcuno sono la stessa cosa, ma per qualcuno no.
Per esempio https://mathworld.wolfram.com/DivergentSequence.html
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