Successioni, funzioni continue - esercizio

[Seneca1]

Esercizio: Sia $f : [ 0 , +oo [ -> RR$ . Si supponga $lim_(n) f(2n) = 1$ e che $lim_(n) f(2n + 1) = - 1$.

Si provi che se $f$ è continua, allora esiste una successione $(z_k)_k$ tale che $lim_(k) z_k = +oo$ e , $AA k$ , $f(z_k) = 0$.


Ho una difficoltà inveroconda con questo esercizio. Qualcuno può lanciarmi un hint?

Grazie.

[Rigel1]

Per ogni $n$, io applicherei il teorema degli zeri in $[n, n+1]$.

[Seneca1]

Idee:

Ciò che posso dire è che $lim_(x -> +oo) f(x)$ non esiste: infatti, date due sottosuccessioni $alpha_n = 2n + 1$ e $beta_n = 2n$ con $beta_n , alpha_n -> +oo$ per $n -> oo$, i limiti $lim_(n) f(alpha_n)$ , $lim_(n) f(beta_n)$ sono diversi.

Ma poi?

[Antimius]

Praticamente l'idea è che questa funzione oscilla e, quando $x$ è pari la funzione va a $1$, quando $x$ è dispari, la funzione va a $-1$. Essendo continua, dovrà per forza intersecare l'asse x in un punto compreso nel mezzo di $[n,n+1]$. Basta pensare a una funzione con andamento simile a quello sinusoidale. L'insieme di questi punti "di mezzo", costituiscono la tua successione.
Ora dovrei pensarci un attimo per la dimostrazione, però sicuramente il teorema degli zeri, come ha detto rigel, è un buono spunto.

[Seneca1]

"Rigel":Per ogni $n$, io applicherei il teorema degli zeri in $[n, n+1]$.

Uh, questo significa che $f$ si annulla infinite volte. Più precisamente in ogni intervallo del tipo $[n, n+1]$ la $f$ si annulla almeno una volta.

Quindi posso definire opportunamente $z_k$ in modo che

$z_1 in [1 , 2]$ tale che $f(z_1) = 0$
$z_2 in [2 , 3]$ tale che $f(z_2) = 0$
...
$z_k in [k , k + 1]$ tale che $f(z_k) = 0$

Resta da dimostrare che $z_k -> oo$ . Ma questo è immediato poiché si tratta di una successione monotona crescente superiormente illimitata.

Grazie!

[Seneca1]

Mi sono appena accorto che la cosa non funziona perché non è $f(2n) = 1$ e $f(2n + 1) = -1$ ma sono limiti...

[Seneca1]

"Seneca":Mi sono appena accorto che la cosa non funziona perché non è $f(2n) = 1$ e $f(2n + 1) = -1$ ma sono limiti...

Quindi , a patto di scegliere $n$ sufficientemente grandi, la cosa funziona. Per il teorema della permanenza del segno troverò intorni in cui la $f$ nei punti pari si mantiene $ > 0$ e nei punti dispari si mantiene $< 0$. Quindi applico il teorema degli zeri per $[ n , n + 1 ]$, con $n$ sufficientemente grande.

[Rigel1]

Forza, non affogare in un bicchiere d'acqua!
Se $\lim_n f(2n) = 1$, allora esiste $n_0$ t.c. $f(2n) > 0$ per ogni $n> n_0$.
Analogamente, esiste $n_1$ t.c. $f(2n+1) < 0$ per ogni $n > n_1$.
Adesso applica il ragionamento che hai fatto per ogni $n > "max"\{n_0, n_1\}$.

Edit: vedo che hai già risolto da solo.

[Seneca1]

"Rigel":Forza, non affogare in un bicchiere d'acqua!
Se $\lim_n f(2n) = 1$, allora esiste $n_0$ t.c. $f(2n) > 0$ per ogni $n> n_0$.
Analogamente, esiste $n_1$ t.c. $f(2n+1) < 0$ per ogni $n > n_1$.
Adesso applica il ragionamento che hai fatto per ogni $n > "max"\{n_0, n_1\}$.

Edit: vedo che hai già risolto da solo.

Sì, sì. Ci sono arrivato un attimo dopo. Grazie.

[Seneca1]

Esercizio:

(Nelle stesse ipotesi) si provi che se $f$ è derivabile, allora esiste una successione $(xi_k)_k$ tale che $lim_(k) xi_k = +oo$ e , $AA k$ , $f'(xi_k) = 0$.

Svolgimento:

In questo caso, se $z_k$ era la successione degli zeri di $f$, considero gli intervalli del tipo $[ z_k , z_(k+1)]$. In ciascuno di questi posso applicare Rolle:

$AA k , EE xi_k in ] z_k , z_(k+1)[$ tale che $f'(xi_k) = 0$.

Con lo stesso argomentum della dimostrazione precedente si conclude che $xi_k -> oo$.


E' corretto?

[Rigel1]