Successioni estratte ed insiemi compatti
riferimento: G.Fiorito- Analisi Matematica 1- Spazio libri
posto questo topic perchè spero che qualcuno possa darmi delle delucidazioni su questi argomenti che non riesco a comprendere, premetto che studio analisi in modo sistematico da poco tempo e qualsiasi link che dia definizioni più consone al mio livello di conoscenze è molto gradito.
Definizione(successioni estratte):
Sia $a_{n}$ una successione e $n_{k}$ una successione crescente di numeri naturali; la successione $a_{n_{k}}$, cioè la successione ottenuta da $a_{n}$ prendendo solo i termini $n_{1}, n_{2} n_{3} ...$ si chiama successione estratta da $a_{n}$ ( o sottosuccessione di $a_{n}$)
Quindi sussiste un teorema sul limite delle successioni estratte:
Sia $a_{n}$ una successione e $a_{n_{k}}$ una successione estratta da essa. Se $\lim_{n\rightarrow oo} a_{n}=L$ $(L in RR)$, allora risulta:
$\lim_{k\rightarrow oo}a_{n_{k}} =L$
Definizione (insieme compatto):
un sottoinsieme $A$ di $RR$ si dice compatto se ad ogni successione $x_{n}$ di punti di $A$ sen può estrarre una convergente ad un punto $x_{0} in A$
sussiste quindi un importante teorema
se un insieme è compatto, è chiuso e limitato; e valido il viceversa
questi concetti sono fondamentali per affrontare il calcolo differenziale che nel mio testo si basano proprio sugli insiemi compatti
in pratica io ho capito riguardo le successioni che prendendo una successione estratta da $a_{n}$ è come se andassimo a fare la successioni dei numeri reali che seguono il pedice n della successione originaria,
prendo $a_{n}$ con $n=1$ per esempio estraggo una successione $a_{1_{k}}$ con $k = 1, 2, 3...$ fino infinito, così facendo insomma mi avvicino sempre più al valore della successione $a_{n}$
con $n=1$...
Anche a me sembra strano questo ragionamento e che non so cosa vuole dirmi, non riesco a capire!!!
posto questo topic perchè spero che qualcuno possa darmi delle delucidazioni su questi argomenti che non riesco a comprendere, premetto che studio analisi in modo sistematico da poco tempo e qualsiasi link che dia definizioni più consone al mio livello di conoscenze è molto gradito.
Definizione(successioni estratte):
Sia $a_{n}$ una successione e $n_{k}$ una successione crescente di numeri naturali; la successione $a_{n_{k}}$, cioè la successione ottenuta da $a_{n}$ prendendo solo i termini $n_{1}, n_{2} n_{3} ...$ si chiama successione estratta da $a_{n}$ ( o sottosuccessione di $a_{n}$)
Quindi sussiste un teorema sul limite delle successioni estratte:
Sia $a_{n}$ una successione e $a_{n_{k}}$ una successione estratta da essa. Se $\lim_{n\rightarrow oo} a_{n}=L$ $(L in RR)$, allora risulta:
$\lim_{k\rightarrow oo}a_{n_{k}} =L$
Definizione (insieme compatto):
un sottoinsieme $A$ di $RR$ si dice compatto se ad ogni successione $x_{n}$ di punti di $A$ sen può estrarre una convergente ad un punto $x_{0} in A$
sussiste quindi un importante teorema
se un insieme è compatto, è chiuso e limitato; e valido il viceversa
questi concetti sono fondamentali per affrontare il calcolo differenziale che nel mio testo si basano proprio sugli insiemi compatti
in pratica io ho capito riguardo le successioni che prendendo una successione estratta da $a_{n}$ è come se andassimo a fare la successioni dei numeri reali che seguono il pedice n della successione originaria,
prendo $a_{n}$ con $n=1$ per esempio estraggo una successione $a_{1_{k}}$ con $k = 1, 2, 3...$ fino infinito, così facendo insomma mi avvicino sempre più al valore della successione $a_{n}$
con $n=1$...Anche a me sembra strano questo ragionamento e che non so cosa vuole dirmi, non riesco a capire!!!
Risposte
$a_{n}$ con i=1,2,...,n $n_{i}$ è la successione degli indici
allora $a_{n_{1}}$ $=^{?}$ $a_{1}$
ha senso?
allora $a_{n_{1}}$ $=^{?}$ $a_{1}$
ha senso?
No, la successione estratta non è quello che pensi tu. Pensa ad una successione come ad una fila infinita di oggetti
$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, ...$
una estratta è una fila composta solo da alcuni oggetti, estratti dai precedenti, per esempio
$a_2, a_4, a_6, a_8, ...$.
$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, ...$
una estratta è una fila composta solo da alcuni oggetti, estratti dai precedenti, per esempio
$a_2, a_4, a_6, a_8, ...$.
grazie dissonance molto chiaro e sintetico.
riguardo agli insiemi compatti credo di aver capito che sono degli insiemi immersi in uno spazio senza strappi o discontinuità, insomma sono sottoisiemi di Re C niente di più?
possiamo definirli per intenderci insiemi "continui"?
riguardo agli insiemi compatti credo di aver capito che sono degli insiemi immersi in uno spazio senza strappi o discontinuità, insomma sono sottoisiemi di Re C niente di più?
possiamo definirli per intenderci insiemi "continui"?
No, no, per niente. Ci sono insiemi compatti che "continui" (qualunque cosa questo significhi) non sono proprio, come ad esempio gli insiemi finiti: ${1, 2}$ è compatto. E ce ne sono anche di molto più strani, come l'insieme di Cantor. Se stai studiando analisi matematica 1, per il momento puoi pensare ai "compatti" come agli intervalli chiusi e limitati, sapendo però che ce ne sono mooolti altri.
https://www.matematicamente.it/forum/ins ... t2590.html
ho trovato una discussione al caso mio... grazie comunque
ho trovato una discussione al caso mio... grazie comunque
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