Successioni e Topologia
Dunque ho dei problemi ad interpretare il seguente teorema: dato $ X $ spazio metrico sia $ Esub X $
$ y in bar(E) hArr EE {x^h} sub E :{x^h}rarr y $
La prima parte sarebbe, ogni punto di $ bar(E) $ ammette una successione a valori in $ E $ che vi converge.
La seconda invece non so come interpretarla:
$ 1) $ Tutte le successioni a valori in $ E $ che convergono a qualcosa in $ X $ convergono in realtà a un elemento di $ bar(E) $ che si dimostra per assurdo prendendo una generica successione in $ E $ che converge e mostrando che: se il suo limite $ y $ non sta in $ bar(E) $ allora sta in $ bar(E)^c $ che è un insieme aperto, e quindi ammette per $ y $ un intorno in cui non ci sono punti di $ E $ e a cui nessuna successione di punti di $ E $ può convergere.
$ 2) $ Dato $ E $ sono in grado di trovare almeno una successione di punti di $ E $ convergente a qualcosa che sta in $ bar(E) $
che banalmente si può mostrare costruendo $ AAh $ la successione $ {x^h}=y$ la quale converge a $ y in E sube bar(E) $
Credo che la prima sia quella giusta perchè la seconda è troppo banale. Però è quel "tutte" che mi sembra scontrarsi con l'"esiste". So che sembra insignificante come problema, però mi aiuterebbe a capire come interpretare i vari simboli. Grazie.
$ y in bar(E) hArr EE {x^h} sub E :{x^h}rarr y $
La prima parte sarebbe, ogni punto di $ bar(E) $ ammette una successione a valori in $ E $ che vi converge.
La seconda invece non so come interpretarla:
$ 1) $ Tutte le successioni a valori in $ E $ che convergono a qualcosa in $ X $ convergono in realtà a un elemento di $ bar(E) $ che si dimostra per assurdo prendendo una generica successione in $ E $ che converge e mostrando che: se il suo limite $ y $ non sta in $ bar(E) $ allora sta in $ bar(E)^c $ che è un insieme aperto, e quindi ammette per $ y $ un intorno in cui non ci sono punti di $ E $ e a cui nessuna successione di punti di $ E $ può convergere.
$ 2) $ Dato $ E $ sono in grado di trovare almeno una successione di punti di $ E $ convergente a qualcosa che sta in $ bar(E) $
che banalmente si può mostrare costruendo $ AAh $ la successione $ {x^h}=y$ la quale converge a $ y in E sube bar(E) $
Credo che la prima sia quella giusta perchè la seconda è troppo banale. Però è quel "tutte" che mi sembra scontrarsi con l'"esiste". So che sembra insignificante come problema, però mi aiuterebbe a capire come interpretare i vari simboli. Grazie.
Risposte
Per l'esattezza nell'enunciato manca un dettaglio:
Sia (X,d) spazio metrico, $ EsubX $ e sia y un punto di accumulazione di E. Allora esiste una successione $ {x_n} $ di punti di E distinti da y che converge a y.
Il teorema da te enunciato serve per caratterizzare attraverso l'uso delle successioni i punti di accumulazione in un altra maniera equivalente rispetto alla definizione.
Sia (X,d) spazio metrico, $ EsubX $ e sia y un punto di accumulazione di E. Allora esiste una successione $ {x_n} $ di punti di E distinti da y che converge a y.
Il teorema da te enunciato serve per caratterizzare attraverso l'uso delle successioni i punti di accumulazione in un altra maniera equivalente rispetto alla definizione.
Dunque in realtà (nel mio testo almeno) quella che dici tu è una proposizione precedente che viene usata per dimostrare la condizione sufficiente del teorema, che non ho riportato. In realtà i punti che vengono caratterizzati sono quelli di $ bar(E) $ quindi anche eventuali punti isolati.
Dovrei quindi interpretarlo così? $ X $ spazio normato, $ E sube X $ e $ y in X $ allora: se $ y in bar(E) $ allora esiste una successione di punti di $ E $ che tende a $ y $ mentre se esiste una successione di punti di $ E $ che tende ad $ y $ questo è un punto della sua chiusura.
Grazie.
Modifica: mi sono reso conto che essenzialmente la $ 2) $ è proprio la dimostrazione errata dimenticando la proposizione che hai aggiunto della condizione sufficiente. Quindi è proprio da buttare così com'è.
Dovrei quindi interpretarlo così? $ X $ spazio normato, $ E sube X $ e $ y in X $ allora: se $ y in bar(E) $ allora esiste una successione di punti di $ E $ che tende a $ y $ mentre se esiste una successione di punti di $ E $ che tende ad $ y $ questo è un punto della sua chiusura.
Grazie.
Modifica: mi sono reso conto che essenzialmente la $ 2) $ è proprio la dimostrazione errata dimenticando la proposizione che hai aggiunto della condizione sufficiente. Quindi è proprio da buttare così com'è.
X spazio normato, E⊆X e y∈X allora: se $ y∈bar(E) $ allora esiste una successione di punti di E che tende a y mentre se esiste una successione di punti di E che tende ad y questo è un punto della sua chiusura.
Mi sembra corretta. Pero' scrivi spazio metrico invece di normato.
Nel caso di punti isolati la successione sara' ovviamente quella costante uguale all'elemento stesso, nel caso di un punto di accumulazione la successione sara' data dalla proposizione del messaggio precedente.
Va bene, grazie mille!
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