Successioni e serie di funzioni
Ciao,
ho alcuni dubbi riguardo le successioni e serie di funzioni ....
1) sia $f_n (x) = 1/(1+x^n)$ nell'intervallo I(-1,1) , devo studiare la convergenza uniforme e puntuale
Per la conv. puntuale non ho problemi: f=1=limite puntuale
Per la conv. uniforme la prof ha maggiorato con $|f_n -1|<= a^n/(1-a^n)$
e ha detto che la conv. è uniforme in [-a,a] sottoinsieme di I (-1,1) e "a" appartiene a (0,1)
e poi che non conv. uniformemente in (-1,a] (poichè $s u p|f_n -1|$ è infinito se n è dispari, 1/2 se n è pari) e [a,1) (poichè $ s u p|f_n -1|=1/2 $
non capisco il perchè di questi passaggi..... se me li potete spiegare vi ringrazio!
2) ho la seguente serie: $ arctan (x^2+n^2)/ (1+n^2 x^2) $
ho sempre problemi con la conv. uniforme, perchè non ho capito i passaggi della prof:
in ogni A=R\ (-a,a) , a>0 :
$ s u p f_n = s u p (arctan (x^2+n^2)/ (1+n^2 x^2))<= pi/2a^2 n^2 $
allora dice che conv. totalmente e quindi uniformemente in A
------------
Diciamo che in particolare non capisco quando maggiora con " a " e il perchè valga solo per particolari valori di " a "
Grazie mille!
ho alcuni dubbi riguardo le successioni e serie di funzioni ....
1) sia $f_n (x) = 1/(1+x^n)$ nell'intervallo I(-1,1) , devo studiare la convergenza uniforme e puntuale
Per la conv. puntuale non ho problemi: f=1=limite puntuale
Per la conv. uniforme la prof ha maggiorato con $|f_n -1|<= a^n/(1-a^n)$
e ha detto che la conv. è uniforme in [-a,a] sottoinsieme di I (-1,1) e "a" appartiene a (0,1)
e poi che non conv. uniformemente in (-1,a] (poichè $s u p|f_n -1|$ è infinito se n è dispari, 1/2 se n è pari) e [a,1) (poichè $ s u p|f_n -1|=1/2 $
non capisco il perchè di questi passaggi..... se me li potete spiegare vi ringrazio!
2) ho la seguente serie: $ arctan (x^2+n^2)/ (1+n^2 x^2) $
ho sempre problemi con la conv. uniforme, perchè non ho capito i passaggi della prof:
in ogni A=R\ (-a,a) , a>0 :
$ s u p f_n = s u p (arctan (x^2+n^2)/ (1+n^2 x^2))<= pi/2a^2 n^2 $
allora dice che conv. totalmente e quindi uniformemente in A
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Diciamo che in particolare non capisco quando maggiora con " a " e il perchè valga solo per particolari valori di " a "
Grazie mille!
Risposte
Devo avvisarti che non si capisce quasi niente del tuo post...
"ing.cane":
Per la conv. uniforme la prof ha maggiorato con [cosa?]
e ha detto che la conv. è uniforme in [-a,a] sottoinsieme di I
Si è vero, non me ne ero accorta...Ho modificato =)
non c'è nessuno che sia in grado di risolverli? : )
magari sapete dove posso trovare sul web esercizi svolti con lo stesso 'metodo' ?
magari sapete dove posso trovare sul web esercizi svolti con lo stesso 'metodo' ?
"ing.cane":
1) sia $f_n (x) = 1/(1+x^n)$ nell'intervallo I(-1,1) , devo studiare la convergenza uniforme e puntuale
Per la conv. puntuale non ho problemi: f=1=limite puntuale
Per la conv. uniforme la prof ha maggiorato con $|f_n -1|<= a^n/(1-a^n)$
e ha detto che la conv. è uniforme in [-a,a] sottoinsieme di I (-1,1) e "a" appartiene a (0,1)
e poi che non conv. uniformemente in (-1,a] (poichè $s u p|f_n -1|$ è infinito se n è dispari, 1/2 se n è pari) e [a,1) (poichè $ s u p|f_n -1|=1/2 $
non capisco il perchè di questi passaggi..... se me li potete spiegare vi ringrazio!
Credo che abbia applicato la definizione si successione convergente uniformemente. La conosci?
"ing.cane":
2) ho la seguente serie: $ arctan (x^2+n^2)/ (1+n^2 x^2) $
ho sempre problemi con la conv. uniforme, perchè non ho capito i passaggi della prof:
in ogni A=R\ (-a,a) , a>0 :
$ s u p f_n = s u p (arctan (x^2+n^2)/ (1+n^2 x^2))<= pi/2a^2 n^2 $
allora dice che conv. totalmente e quindi uniformemente in A
Grazie mille!
Ha verificato che quella serie converge totalmente. Esiste inoltre un teorema che ci dice che la convergenza totale implica la uniforme. Dunque la tua prof ha notato che la serie data converge totalmente, e quindi anche uniformemente.
Anche in questo caso, prendi il libro (o gli appunti) e vedi che dice in proposito.
però come faccio a capire con quali a maggiorare?
"ing.cane":
però come faccio a capire con quali a maggiorare?
A cosa ti riferisci?
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