Successioni e serie di funzioni
Ciao a tutti, stavo riprendendo degli esercizi sulle successioni e serie di funzioni (dopo più di 2 anni che non ne facevo uno), e mi sono reso conto di essermi dimenticato tante cose... per cui ho alcune domande:
1) Consideriamo la successione di funzioni $f_n(x)=\frac{(nx)^2}{1+n^2x} \ , x\in\mathbb{R}$
Anzitutto deve essere $x\ne -1/n^2$.
Il limite puntuale è sempre pari a $x$.
Direi allora che la successione non converge uniformemente su $\mathbb{R}-{-n^(-2)}$ in quanto, se lo fosse, essendo le $f_n$ continue, il limite sarebbe continuo.
Tuttavia non ne sono troppo sicuro e, maggiormente, non so come si comporta sui compatti.
2) Consideriamo la successione di funzioni $f_n(x)=nx^2e^{-nx^2} \ , x\in\mathbb{R}$
Puntualmente, la successioe converge a 0 per ogni scelta di $x$.
Per cui vedo se tali funzioni convergono uniformemete a 0.
Tuttavia, studiando la derivata $f'_n(x)$, si scopre che hanno un massimo assoluto nei punti $x_{\pm}=\pm1/\sqrt(n)$, con $f_n(x_{\pm})=1/e$.
Allora direi che tale successione non converge uniformemente su tutto R, in quanto
$ \lim_n\mbox{sup}_x|f_n(x)-0|=1/e \ne 0$
AGGIUNTA: considero semirette del tipo $[A,+\infty] $ con $A>0$. Poiché qui la funzione è decrescente ( per n abbastanza grande, ho superato il massimo), allora ho che:
$f_n(x)<=f_n(A)$ e quindi, facendo tendere $n\to+\infty$, tale limite fa zero, dunque in tali semirette la successione converge uniformemente.
Per parità, converge anche uniformemete su semirette del tipo $(-\infty, B]$, con $B<0$.
Ho invece problemi in $[-A,A]$, in quanto qui trovo sempre il massimo, che mi fa fallire la convergenza uniforme
3) Considieriamo la serie di funzioni $\sum_{n>=2}(-1)^n\frac{1+2^n}{n^2\log n}(x^2-1)^n$
Qui non riesco a capire bene neanche il limite puntuale... probabilmente mi confondo un sacco con i conti
La mia idea era di vedere per quali x si aveva che $2|x^2-1|<1$ (in tal modo la serie si comportava come una geometrica con ragione di modulo <1 e convergeva assolutamente), e poi controllare i punti estremali.
Però mi rendo conto che magari ci sia qualche problemino che non riesco a vedere bene...
1) Consideriamo la successione di funzioni $f_n(x)=\frac{(nx)^2}{1+n^2x} \ , x\in\mathbb{R}$
Anzitutto deve essere $x\ne -1/n^2$.
Il limite puntuale è sempre pari a $x$.
Direi allora che la successione non converge uniformemente su $\mathbb{R}-{-n^(-2)}$ in quanto, se lo fosse, essendo le $f_n$ continue, il limite sarebbe continuo.
Tuttavia non ne sono troppo sicuro e, maggiormente, non so come si comporta sui compatti.
2) Consideriamo la successione di funzioni $f_n(x)=nx^2e^{-nx^2} \ , x\in\mathbb{R}$
Puntualmente, la successioe converge a 0 per ogni scelta di $x$.
Per cui vedo se tali funzioni convergono uniformemete a 0.
Tuttavia, studiando la derivata $f'_n(x)$, si scopre che hanno un massimo assoluto nei punti $x_{\pm}=\pm1/\sqrt(n)$, con $f_n(x_{\pm})=1/e$.
Allora direi che tale successione non converge uniformemente su tutto R, in quanto
$ \lim_n\mbox{sup}_x|f_n(x)-0|=1/e \ne 0$
AGGIUNTA: considero semirette del tipo $[A,+\infty] $ con $A>0$. Poiché qui la funzione è decrescente ( per n abbastanza grande, ho superato il massimo), allora ho che:
$f_n(x)<=f_n(A)$ e quindi, facendo tendere $n\to+\infty$, tale limite fa zero, dunque in tali semirette la successione converge uniformemente.
Per parità, converge anche uniformemete su semirette del tipo $(-\infty, B]$, con $B<0$.
Ho invece problemi in $[-A,A]$, in quanto qui trovo sempre il massimo, che mi fa fallire la convergenza uniforme
3) Considieriamo la serie di funzioni $\sum_{n>=2}(-1)^n\frac{1+2^n}{n^2\log n}(x^2-1)^n$
Qui non riesco a capire bene neanche il limite puntuale... probabilmente mi confondo un sacco con i conti
La mia idea era di vedere per quali x si aveva che $2|x^2-1|<1$ (in tal modo la serie si comportava come una geometrica con ragione di modulo <1 e convergeva assolutamente), e poi controllare i punti estremali.
Però mi rendo conto che magari ci sia qualche problemino che non riesco a vedere bene...
Risposte
Ciao Lebesgue,
Per la 3) osserverei innanzitutto che la serie non può partire da $n = 0 $ (non è definito il logaritmo a denominatore) e neanche da $n = 1 $ (si annulla il logaritmo a denominatore), ma almeno da $n = 2 $
La convergenza assoluta (che implica quella semplice) effettivamente si ha per $2|x^2 - 1| < 1 $, poi basta andare a vedere cosa accade per $ 2|x^2 - 1| = 1 $, che fornisce i valori $\pm sqrt{3/2} $ e $\pm sqrt2/2 $
Siccome nella serie proposta compare $x^2 $, in effetti è sufficiente vedere cosa accade alla serie per $ x_1 = sqrt{3/2} $ e per $x_2 = sqrt2/2 $...
Per la 3) osserverei innanzitutto che la serie non può partire da $n = 0 $ (non è definito il logaritmo a denominatore) e neanche da $n = 1 $ (si annulla il logaritmo a denominatore), ma almeno da $n = 2 $
La convergenza assoluta (che implica quella semplice) effettivamente si ha per $2|x^2 - 1| < 1 $, poi basta andare a vedere cosa accade per $ 2|x^2 - 1| = 1 $, che fornisce i valori $\pm sqrt{3/2} $ e $\pm sqrt2/2 $
Siccome nella serie proposta compare $x^2 $, in effetti è sufficiente vedere cosa accade alla serie per $ x_1 = sqrt{3/2} $ e per $x_2 = sqrt2/2 $...
"Lebesgue":
Il limite puntuale è sempre pari a $x$.
[...]
Direi allora che la successione non converge uniformemente su $\mathbb{R}-{-n^(-2)}$ in quanto, se lo fosse, essendo le $f_n$ continue, il limite sarebbe continuo.[...]
Spiegati meglio. La funzione \(f(x)=x\) non è continua?
"dissonance":
Spiegati meglio. La funzione \(f(x)=x\) non è continua?
Ho ripreso i libri di Analisi 2, direi di fare così:
poiché il limite puntuale è $x$, considero il $\mbox{sup}_x |f_n(x)-x|=|-x/(1+n^2x)|=|g_n(x)| $
Direi che tale sup è $+\infty$, non appena $x->-1/n^2$, per cui la successione non converge uniformemente su tutto R.
Allora vedo che succede sui compatti del tipo $[A,B]$, con $0<=A
In tali compatti, si ha che: $|g_n(x)|<=\frac{B}{1+An^2}$ e quindi converge uniformemente.
Analogamente se considero compatti del tipo $[A,B]$ con $A
"pilloeffe":
Ciao Lebesgue,
Per la 3) osserverei innanzitutto che la serie non può partire da $n = 0 $ (non è definito il logaritmo a denominatore) e neanche da $n = 1 $ (si annulla il logaritmo a denominatore), ma almeno da $n = 2 $
Sì perdonami, è stato un mio errore di copiatura.
Ma invece, per la convergenza uniforme come ragiono??
Molto bene, ci sei quasi.
Io raffinerei un po' il ragionamento. Invece di prendere \([A, B]\), puoi prendere direttamente \([0, \infty)\) e la prima parte del tuo ragionamento mostra che la convergenza qui è uniforme.
Poi, non c'è bisogno di prendere \(-1\) come punto di riferimento, anche se capisco per quale motivo lo hai fatto e lo approvo. Ma potevi anche prendere \(-1/100\), no? Tanto, a te non importa da dove parte \(n\). Potresti farlo partire da \(n=100\) e ai fini della convergenza non cambia nulla. Questo suggerisce che gli intervalli da considerare sono della forma \((-\infty, A]\) con \(A<0\). Qui la convergenza è uniforme.
Io raffinerei un po' il ragionamento. Invece di prendere \([A, B]\), puoi prendere direttamente \([0, \infty)\) e la prima parte del tuo ragionamento mostra che la convergenza qui è uniforme.
Poi, non c'è bisogno di prendere \(-1\) come punto di riferimento, anche se capisco per quale motivo lo hai fatto e lo approvo. Ma potevi anche prendere \(-1/100\), no? Tanto, a te non importa da dove parte \(n\). Potresti farlo partire da \(n=100\) e ai fini della convergenza non cambia nulla. Questo suggerisce che gli intervalli da considerare sono della forma \((-\infty, A]\) con \(A<0\). Qui la convergenza è uniforme.
Scusami dissonance, ma non riesco a capire perchè mi vanno bene le semirette $(-\infty,A]$ con $A<0$.
Potresti farmi vedere bene come ragionare?
EDIT: forse ho capito. Dalla definizione di convergenza uniforme, deve essere che:
$\forall\epsilon>0 \exists n_0\in\N \ t.c. \ |f_n(x)-f(x)|<\epsilon \ \forall x\in S, \ \forall n>n_0$
(dove S è un opportuno sottoinsieme di $\R$ in cui sto valutando la convergenza uniforme)
Per cui anche se prendo un $\epsilon$ molto piccolo, poichè il mio sup è in $x=-1/n^2$, e $S=(-infty,A]$ con A<0, per un n abbastanza grande ho che $A< -1/n^2$ e quindi "evito" il sup=$+\infty$
Potresti farmi vedere bene come ragionare?
EDIT: forse ho capito. Dalla definizione di convergenza uniforme, deve essere che:
$\forall\epsilon>0 \exists n_0\in\N \ t.c. \ |f_n(x)-f(x)|<\epsilon \ \forall x\in S, \ \forall n>n_0$
(dove S è un opportuno sottoinsieme di $\R$ in cui sto valutando la convergenza uniforme)
Per cui anche se prendo un $\epsilon$ molto piccolo, poichè il mio sup è in $x=-1/n^2$, e $S=(-infty,A]$ con A<0, per un n abbastanza grande ho che $A< -1/n^2$ e quindi "evito" il sup=$+\infty$
Hai accesso a Mathematica? Prova a fare girare questo comando;
qui, per esempio, su wolfram alpha;
https://www.wolframalpha.com/input/?i=M ... C+10%7D%5D
Facendo scorrere lo slider, se te lo permette (Wolfram Alpha a me dice che dovrei comprare la licenza pro), vedrai come la singolarità si schiaccia sempre più sullo \(0\). Prendendo un intervallo della forma \((-\infty, A]\) con \(A<0\), per \(n\) sufficientemente grande la singolarità è fuori, e puoi ragionare come nel primo caso e concludere che la convergenza è uniforme.
Manipulate[Plot[(n^2*x^2)/(1+n^2*x), {x, -1, 0}], {n, 1, 10}]
qui, per esempio, su wolfram alpha;
https://www.wolframalpha.com/input/?i=M ... C+10%7D%5D
Facendo scorrere lo slider, se te lo permette (Wolfram Alpha a me dice che dovrei comprare la licenza pro), vedrai come la singolarità si schiaccia sempre più sullo \(0\). Prendendo un intervallo della forma \((-\infty, A]\) con \(A<0\), per \(n\) sufficientemente grande la singolarità è fuori, e puoi ragionare come nel primo caso e concludere che la convergenza è uniforme.
Comunque grazie mille dissonance!! Ora piano piano mi sto ricordando tutte quelle cose sulla convergenza uniforme che avevo dimenticato completamente
Per caso sai darmi una dritta anche su quella serie?
Per caso sai darmi una dritta anche su quella serie?
"Lebesgue":
Comunque grazie mille dissonance!! Ora piano piano mi sto ricordando tutte quelle cose sulla convergenza uniforme che avevo dimenticato completamente
Così funziona l'apprendimento.
Per caso sai darmi una dritta anche su quella serie?
Qual è il problema? La convergenza assoluta mi pare che con l'intervento di pilloeffe è stata assodata. Bisogna vedere i punti estremali, e quelle lì sono serie numeriche. Se ti danno problemi, scrivile qui e vediamo il da farsi.
"dissonance":
Qual è il problema? La convergenza assoluta mi pare che con l'intervento di pilloeffe è stata assodata. Bisogna vedere i punti estremali, e quelle lì sono serie numeriche. Se ti danno problemi, scrivile qui e vediamo il da farsi.
Se non ho fatto male i conti, ho che la serie converge puntualmente per $ x\in[-\sqrt(3/2),-\sqrt(2)/2]\cup[\sqrt(2)/2,\sqrt(3/2)] $ (perchè agli estremi la serie si comporta come $ \sum 1/(n^2\log n) $, che converge).
Per la convergenza uniforme, direi che la serie converge nei due compatti trovati per questo motivo:
anzitutto il termine generale $f_n(x)$ è pari nella variabile $x$ dunque mi concentro sugli $x≥0$.
Ho che in $ [\sqrt(2)/2,\sqrt(3/2)] $, vale che $ |f_n(x)|<=|f_n(\sqrt(3/2))| $ (si vede studiando la derivata) dunque la serie converge totalmente, quindi uniformemente.
Per parità, ho convergenza uniforme anche nell'altro compatto
va bene?
"dissonance":
Facendo scorrere lo slider, se te lo permette (Wolfram Alpha a me dice che dovrei comprare la licenza pro)
Chiedo scusa per l'OT, ma allora perciò spesso non riesco a usare Wolfram Alpha? Bisogna comprare la licenza?
A me lì non fa scorrere lo slider, e nemmeno mi dice che bisogna comprare la licenza.
Non sono un utente abituale di Wolfram Alpha, a dire il vero ho cercato di usarlo ieri per questo thread e basta. Da qualche parte diceva "diventa utente pro" e allora ho capito l'antifona.
Comunque c'è un modo per usare Mathematica senza licenza, con qualche limitazione ma accettabile; bisogna aprire un account su https://www.wolframcloud.com/ Poi si può usare Mathematica nel browser. Non è il massimo ma funziona. Ha il grosso vantaggio di non richiedere nessuna installazione.
Comunque c'è un modo per usare Mathematica senza licenza, con qualche limitazione ma accettabile; bisogna aprire un account su https://www.wolframcloud.com/ Poi si può usare Mathematica nel browser. Non è il massimo ma funziona. Ha il grosso vantaggio di non richiedere nessuna installazione.
"dissonance":
Non sono un utente abituale di Wolfram Alpha, a dire il vero ho cercato di usarlo ieri per questo thread e basta. Da qualche parte diceva "diventa utente pro" e allora ho capito l'antifona.
Comunque c'è un modo per usare Mathematica senza licenza, con qualche limitazione ma accettabile; bisogna aprire un account su https://www.wolframcloud.com/ Poi si può usare Mathematica nel browser. Non è il massimo ma funziona. Ha il grosso vantaggio di non richiedere nessuna installazione.
Grazie della risposta.
In realtà io non lo uso quasi mai, ma quando ci ho provato non ci riuscivo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo