Successioni e monotonia
buonasera a tutti,
mi stavo chiedendo, se una successione tende a infinito questa dovrà essere necessariamente definitivamente monotona crescente? quindi potremmo dire che condizione sufficiente affinché una successione sia monotona è che per n->+inf essa tenda a +inf (o -inf)?
mi stavo chiedendo, se una successione tende a infinito questa dovrà essere necessariamente definitivamente monotona crescente? quindi potremmo dire che condizione sufficiente affinché una successione sia monotona è che per n->+inf essa tenda a +inf (o -inf)?
Risposte
Attenta! 
Se una funzione diverge a $+\infty$ non è detto che sia definitivamente monotona crescente:
\[
x_n=n+(-1)^n.
\]
Chiaramente
\[
\lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty,
\]
tuttavia per ogni $n$ pari si ha che
\[
\begin{split}
x_n=&n+1 \\
x_{n+1}=&(n+1)+(-1)=n
\end{split}
\]
quindi $x_n \ge x_{n+1}$ per ogni $n$ pari sebbene $x_n\to+\infty$.
Se una funzione diverge a $+\infty$ non è detto che sia definitivamente monotona crescente:
\[
x_n=n+(-1)^n.
\]
Chiaramente
\[
\lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty,
\]
tuttavia per ogni $n$ pari si ha che
\[
\begin{split}
x_n=&n+1 \\
x_{n+1}=&(n+1)+(-1)=n
\end{split}
\]
quindi $x_n \ge x_{n+1}$ per ogni $n$ pari sebbene $x_n\to+\infty$.
grazie per il chiarimento! non mi era proprio venuto in mente...
@billyballo2123
[ot]Per caso conosci l'uomo che usciva la gente?
[/ot]
[ot]Per caso conosci l'uomo che usciva la gente?
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