Successioni e convergenze

[nomen1]

Non riesco a fare questo esercizio:

Sia $x_n$ la successione in R definita nel modo seguente:

$x_0 = 1$
$x_(n+1) = 1/2 x_n +3$

Trovare il termine generale e dire se la successione è convergente

[_Tipper]

Scrivendo i primi termini si vede che

$x_0 = 1$

$x_1 = 3$

$x_2 = \frac{3}{2} + 3$

$x_3 = \frac{3}{4} + 3$

$x_4 = \frac{3}{8} + 3$

$x_5 = \frac{3}{16} + 3$

Per induzione si prova che

$x_n =\{(1, "se " n = 0),(3, "se " n = 1),(\frac{3}{2^{n-1}} + 3, "se " n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}):}$

[nomen1]

ho provato a rifarlo e mi viene che la successione converge a 6....è esatto?

[Fioravante Patrone1]

se converge non può convergere altro che a 6

la formula di Tipper non va bene, si è dimenticato un pezzo...

[yanchun]

Eh sì.
Il termine generico è
$ 1 / 2^n +3 sum _{i=0} ^n 1/ 2^n$

Giusto??

[Sk_Anonymous]

La formula generale sembra essere :
$x_n=6-5/(2^n)$ e quindi converge a 6
Il risultato si consegue con la teoria delle differenze finite.

[_Tipper]

Ops è vero... scusate...

[Sk_Anonymous]

Vorrei giustificare la mia risposta proponendo la soluzione completa.
Come gia' detto su questo Forum ( anche di recente) le ricorsioni
si possono talvolta sciogliere con un procedimento assai simile a quello
adoperato per le equazioni differenziali lineari.
La nostra ricorsione si puo' anche scrivere così:
(1) $x_(n+1)-1/2x_n=3$ e quindi l'equazione omogenea associata e':
$x_(n+1)-1/2x_n=0$ .
L'equazione caratteristica e' allora :
$lambda^(n+1)-1/2lambda^n=0$ con $lambda!=0$
La soluzione e' $lambda=1/2$ e quindi ,tenuto conto che il secondo membro
della (1) e' una costante, si puo' provare a mettere la soluzione completa della (1) medesima
nella forma :
( 2) $x_n=c_o(1/2)^n+c_1$
Le due costanti le possiamo trovare con le condizioni $x_o=1,x_1=7/2$ che sostituite nella (2) danno il sistema:
${(c_o +c_1=1),((c_o)/2+c_1=7/2):}$
da cui $c_o=-5,c_1=6$ che inserite nella (2) danno la soluzione cercata.